Extensão Contínua
Teoria
Extensão Contínua
Você já deve ter encontrado por aí um monte de questões em que tínhamos um limite onde o denominador zerava mas que o valor do limite convergia. É relativamente comum aparecerem casos como esse:
Ex:
Nesse caso, vemos que é contínua dentro de seu domínio, mas em a função não existe. Daí, surge a ideia de gerar a extensão contínua! Ora, o limite para não é ? Então vamos dizer que a função vale nesse ponto e ela mesma no resto, ou seja:
Você pode ouvir falar desse tipo de singularidade, como a do exemplo, como descontinuidade removível.
Importante: Se o limite nesse ponto explodisse para não teríamos como fazer essa extensão contínua para sua função.
Para questões desse tipo você vai precisar lembrar de ficar atento ao denominador e quando ele zera. Nesses pontos estarão o nosso interesse principal da análise, não se esqueça disso!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFF, Cálculo IA-Lista 4, GMA, 2008-1, Questão 32
Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta .
Passo 1
Esse denominador vai zerar quando , ou seja, . De resto, não temos outros candidatos a pontos com extensão contínua. Vamos calcular o limite da função nesse ponto:
Passo 2
Para resolver esse cara, vou substituir o seu denominador por , para simplificar a matemática do negócio:
Passo 3
Nesse momento, vou lembrar você de uma propriedade trigonométrica:
Com isso, teremos:
Onde e . Enfim, temos:
O que significa que posso escrever o limite como:
Passo 4
Vou multiplicar pelo conjugado quadrado de em cima e embaixo:
Onde . Dessa maneira,
Passo 5
Podemos destacar um Limite fundamental ali do resto do limtie, repara:
Substituindo o limite fundamental por e no resto, teremos:
Portanto, teremos extensão contínua nesse ponto, . Dessa forma, a equação da função acabaria como:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta .
Passo 1
Esse denominador vai zerar quando , ou seja, . De resto, não temos outros candidatos a pontos com extensão contínua. Vamos calcular o limite da função nesse ponto:
Passo 2
Repara que no argumento do seno temos . Dessa forma, se multiplicarmos em cima e embaixo por , já que temos o seno elevado ao cubo, poderíamos aplicar uma substituição do Limite Fundamental Trigonométrico, dessa forma:
Passo 3
Para resolver o Limite Fundamental Trigonométrico, fazemos uma substituição:
Substituímos o Limite Fundamental Trigonométrico no primeiro cara e o valor do no segundo:
Passo 4
Assim, aplicando a extensão contínua nesse ponto, teremos a função valendo ela mesma para e quando :
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFF, Cálculo IA-Lista 4, GMA, 2008-1, Questão 33
Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta .
Passo 1
Esse denominador vai zerar quando , ou seja, . Vamos calcular o limite da função nesse ponto:
Passo 2
Repara que no argumento do seno temos , que é igual a , pelo produto notável. Dessa forma, se multiplicarmos em cima e embaixo por , poderíamos aplicar uma substituição do limite fundamental, dessa forma:
Passo 3
Para resolver o Limite Fundamental Trigonométrico, fazemos uma substituição:
Substituímos o Limite Fundamental Trigonométrico no primeiro cara e o valor do no segundo:
Passo 4
Assim, aplicando a extensão contínua nesse ponto, teremos a função valendo ela mesma para e quando :
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Verifique se a função tem extensão contínua.
Passo 1
Bom, quais são os possíveis problemas a serem gerados nesse cálculo de domínio? Temos que o que está dentro da raiz deve ser e o denominador .
Por partes, o termo dentro da raiz primeiro:
Repara, esse termo vai ser sempre positivo, pois é uma soma de uma raiz de grau par (no caso, expoente ao quadrado) com um termo maior que !
Passo 2
Agora o denominador:
Novamente, vemos um termo com soma de raízes de grau par ( e para esse termo) só que com um cara maior do que . Com isso, queremos o denominador diferente de
A solução desse cara é
Com isso, vamos aplicar o limite nesses dois pontos.
Passo 3
Em , vamos ver
Precisa nem analisar lateralmente, já vemos que não haverá extensão contínua nesse ponto.
Em , teremos
Novamente, não haverá extensão contínua nesse ponto.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração própria
Verifique se a função dada tem extensão contínua em toda reta .
Passo 1
Nessa função aí, dá pra ver que temos um denominador que zera com , não é? E claro, isso não pode rolar se não temos uma descontinuidade. Show, então como não temos outros candidatos a pontos com extensão contínua, vamos calcular:
Passo 2
Para resolver esse cara, vou substituir todo o por , para simplificar a matemática do negócio:
Veja então que, como quando , também, reescrevemos o limite para
Passo 3
Agora vamos efetivamente calcular o limite, beleza? Pra isso, olha essa macete usando as propriedades dos limites:
E cara, não é que o limite que sobrou é o limite fundamental exponencial? Se tá: na dúvida, tenta fazer essa substituição aqui:
Fazendo essa substituição e considerando que a gente tem que alterar os limites também quando fazemos substituições:
Ficamos com:
Viu só? Duas formas diferentes de escrevermos o limite fundamental trigonométrico! O limite vai ficar então:
Pra fechar com chave de ouro, basta a gente escrever na forma de extensão contínua