Teoria

Oiee! Seja bem vindo ao RespondeAí! Vem comigo pra a gente aprender TUDO o que você precisa saber sobre Assíntota Vertical e Horizontal!

Mas antes de qualquer coisa...

O que é uma assíntota?

Vamos dar uma olhada no gráfico da função  aqui:

Exemplo de assíntota horizontal
Exemplo de assíntota horizontal

O que será que acontece se a gente colocar um valor de  muito grande? Pelo gráfico parece que a nossa função vai praticamente pra zero, né?

Na realidade, o que acontece é que a nossa função fica muito perto de zero mas nunca chega a encostar no eixo , nesse caso dizemos que o eixo é uma assíntota de , porque a função chega pertinho do desse eixo, mas nunca encosta nele!

Ou seja, podemos dizer que uma assíntota horizontal ou vertical nada mais é do que uma reta imaginária que delimita a aproximação de uma função no gráfico à medida que ela cresce ou decresce.

Assíntota Vertical

No exemplo acima vimos uma assíntota horizontal, vamos dar uma olhada agora em assíntota vertical!

Se liga no gráfico da função :

Assíntota vertical.
Assíntota vertical.

Se a gente olhar com calma a medida que o valor de aumenta (sendo positivo ou negativo) a função tende a tocar na reta , mas ela nunca toca!

Logo, a reta é nossa assíntota vertical.

Mas a gente resolveu o problema apenas olhando pro gráfico, como faz pra resolver se não tivermos ele?

Então, perceberam que a gente basicamente viu que quando a função chegava muito perto de x=1 (pela direita e pela esquerda) ela explodia pra mais e pra menos infinito? Opa, então o que a gente fez foi basicamente resolver esses limites aqui, olha só:

Então basta resolvermos dois limites e eles resultarem em  ou !😃

Mas por que escolhemos o ?

No caso do nosso exemplo, a nossa função era:

Podemos ver que faz o denominador resultar em zero, o que é um grande problema!

Então, para achar as assíntotas verticais, vamos procurar valores de que podem dar problema no nosso domínio!

Devemos ficar ligados principalmente em casos em que o denominador resulta em ou quando dentro de um logaritmo a expressão assume valor zero, saca só alguns exemplos:

Exemplos de funções com assíntotas verticais
Exemplos de funções com assíntotas verticais

Sendo assim, depois de achar esses valores que dão problema na função, a gente resolve o limite com tendendo pra eles tanto pela direita quanto pela esquerda:

Se um desses dois limites explodirem para mais ou para menos infinito. Isso é, o limite tendendo a  pela esquerda ou o limite tendendo a aa pela direita resultarem em +∞ ou -∞, é só partir para o abraço!

Você terá encontrado uma assíntota vertical naquele sentido 😉.

Assíntota horizontal

No exemplo inicial vimos que o eixo era um assíntota horizontal, mas chegamos nessa conclusão observando o gráfico!

O que a gente vai fazer agora é descobrir como achar a assíntota horizontal a partir da função!

Vamos pegar o exemplo inicial, já sabemos que a assíntota da função é , mas agora vamos achar essa assíntota através da função:

Podemos dizer que:

Maneiro! Chegamos que o nosso limite é igual a zero e o eixo x é justamente a reta .

Então, quer dizer que para acharmos uma assíntota horizontal basta a gente resolver dois limites:

Onde .

Se um ou os dois limites resultarem em um valor finito, ou seja, não explodirem pra mais ou menos infinito, quer dizer que encontramos uma assíntota horizontal.  Vamos supor que um dos limites resultou em , teremos então que  é uma assíntota.

Só fica atento que não é necessário que os dois limites sejam iguais a uma constante para ser uma assíntota, mas apenas um deles. Caso os dois limites resultem em constantes diferentes, teremos duas assíntotas, uma em cada constante.

Resumo

Passo a passo para achar a assíntota vertical

Para a gente achar possíveis assíntotas verticais nós temos que:

  1. Achar valores de que dão problema na nossa função, ou seja, que não estão no domínio dela (lembrar dos principais casos);
  2. Fazer os limites laterais da função com tendendo aos valores problemáticos;
  3. Se um desses limites laterais explodirem para mais ou menos infinito, quer dizer que temos uma assíntota vertical;
  4. Se os dois limites resultarem em constantes, não temos assíntotas verticais.

Passo a passo para achar a assíntota horizontal

E para acharmos assíntotas horizontais:

  1. Fazer os limites da nossa função com tendendo a mais e menos infinito;
  2. Se pelo menos um desses limites resultar em uma constante. Teremos que a reta é uma assíntota horizontal;
  3. Se os limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas;
  4. Se os dois limites explodirem para mais ou pra menos infinito, não temos assíntotas horizontais.

Curtiu nosso conteúdo?!

Confere só esse vídeo sobre assíntota horizontal e vertical que eu separai especialmente pra você!

Vamos praticar com exercícios?

Assíntota Vertical

Assíntota horizontal

Resumo

Exercícios de Livros Relacionados