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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 108

108. Dada F x = ∫ x 2 x 1 t d t   e   x > 0 . Prove que F é uma função constante , mostrando que F´(x) = 0. (Sugestão: use o primeiro teorema funtamental do cálculo após escrever a integral dada como a diferença de duas integrais.)

Passo 1

Nesta questão primeiro devemos escrever a integral dada como a diferença de duas integrais, para depois aplicarmos o primeiro teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Tomando uma costante a positiva percentence ao intervalo de integração dado podemos escrever a integral como:

F x = ∫ x 2 x 1 t d t = ∫ x a 1 t d t + ∫ a 2 x 1 t d t = ∫ a 2 x 1 t d t - ∫ a x 1 t d t  

Ou seja, invertendo os limites de integração aparece um sinal de menos.

Passo 3

Tomando u = 2x . Pelo primeiro teorema fundamental do cálculo podemos escrever:

F ´ x = d d u ∫ a u 1 t d t   . d u d x - d d x ∫ a x 1 t d t = 1 u . 2 - 1 x = 1 2 x . 2 - 1 x = 0  

Logo, F ´ x = 0 .

Resposta

Demonstração.

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