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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.6 - Ex. 12

Estime o número mínimo de subintervalos necessários para aproximar a integral:

∫ 1 3 ( 2 x - 1 ) d x

com um erro de magnitude inferior a 10 - 4 através da:

  1. Regra do trapézio
  2. Regra de Simpson

Passo 1

A integral numérica serve para que calculemos a solução de uma integral cuja primitiva não tem forma elementar. Para isso, dividimos o intervalo dado em subintervalos e aplicamos regras que aproximem o resultado para o valor real da integral. Para sabermos quantos subintervalos são necessários, usamos as seguintes equações:

  1. Para o critério de parada da regra do trapézio temos a equação:

    2. E T ≤ M b - a 3 12 n 2

    Sendo M = f ' ' c , estando c contido no intervalo, [ a ,   b ] os limites do intervalo e n o número de subintervalos. Para descobrirmos o número de subintervalos, substituímos a condição que: E T < 10 - 4 , que é o critério de parada, e isolamos n.

    M b - a 3 12 n 2 < 1 10 4

    Invertendo as frações e o sinal da inequação, temos:

    12 n 2 M b - a 3 > 10 4

    n > 10 4 × M b - a 3 12 1 2

  2. De forma análoga, a fórmula de erro para a regra de Simpson é:

E S ≤ M b - a 5 180 n 4

Isolando da mesma forma que no passo anterior, teremos:

n > 10 4 × M b - a 5 180 1 4

Com a diferença de que M será f i v c

Passo 2

Solucionando o item a:

Para o valor de M, teremos:

M = f ' ' c = 0

Substituindo na inequação de erro, teremos:

n > 10 4 × 0 × 3 - 1 3 12 1 2 = 0

Temos apenas que n > 0

Logo, n = 1 soluciona o problema.

Passo 3

Solucionando o item b:

Calculando o valor de M:

M = f i v c = 0

Substituindo na fórmula da Regra de Simpson:

10 4 × 0 × 3 - 1 5 180 1 4 = 0

Temos apenas uma particularidade para o valor de n, uma vez que, por trabalhar usando parábolas para aproximar valores, é necessário que n , seja par. Logo:

n > 0   e   p a r

n = 2

Resposta

a )   n = 1

b )   n = 2

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