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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 20

Calcule a integral indefinda

int (d x)/(2 x^2 + 2 x + 3)

Passo 1

int (d x)/(2 x^2 + 2 x + 3)

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

a^2 + 1

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

2 x^2 + 2 x + 2

Primeiro, vamos olhar so p 2 x^2 + 2 x , ele deve ficar parecido com a^2 + 2 a b + b^2 .

a^2 + 2 a b + b^2 = (a + b)^2

2 x^2 + 2 x

Vamos começar colocando o 2 em evidência:

2 x^2 + 2 x = 2 (x^2 + x)

Comaprando, teremos

a = x

b = (1)/(2)

2 (x^2 + x + ((1)/(2))^2)

Aqui, vamos somar e subtrair 2 b^2 isso porque tem o 2 na frente do produto notável.

2 x^2 + 2 x + 2 = 2 (x^2 + x + ((1)/(2))^2) - 2 ((1)/(2))^2 + 2

Organizando

2 x^2 + 2 x + 2 = 2 (x + (1)/(2))^2 - (1)/(2) + 2 = 2 (x + (1)/(2))^2 + (3)/(2)

Estamos quaaaase com o a^2 + 1 , para isso vamos colocar o (3)/(2) em evidência:

2 (x + (1)/(2))^2 + (3)/(2) = (3)/(2) ((4)/(3) (x + (1)/(2))^2 + 1)

A nossa integral fica:

int (d x)/(2 x^2 + 2 x + 3) = int (d x)/((3)/(2) ((4)/(3) (x + (1)/(2))^2 + 1)) = (2)/(3) int (d x)/(((4)/(3) (x + (1)/(2))^2 + 1))

Passo 2

Com aquela integral:

(2)/(3) int (d x)/(((4)/(3) (x + (1)/(2))^2 + 1))

Vamos fazer a substituição

(4)/(3) (x + (1)/(2))^2 = a^2

a = sqrt((4)/(3)) (x + (1)/(2)) -> d a = sqrt((4)/(3)) d x -> d x = sqrt((3)/(4)) d a

A nossa integral em a vai ser:

(2)/(3) int (d x)/(((4)/(3) (x + (1)/(2))^2 + 1)) = (2)/(3) int (sqrt((3)/(4)) d a)/((a^2 + 1)) = (2)/(3) sqrt((3)/(4)) int (d a)/((a^2 + 1))

Essa integral em a é a tg^(- 1) a , então teremos:

(2)/(3) sqrt((3)/(4)) int (d a)/((a^2 + 1)) = (2)/(3) sqrt((3)/(4)) tg^(- 1) a + C

Voltando para x :

(2)/(3) sqrt((3)/(4)) tg^(- 1) a + C = (2)/(3) sqrt((3)/(4)) tg^(- 1) (sqrt((4)/(3)) (x + (1)/(2))) + C

Resposta

(2)/(3) sqrt((3)/(4)) tg^(- 1) (sqrt((4)/(3)) (x + (1)/(2))) + C

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