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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.17 - Ex. 11d

11. Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função impar

d) f x = x + x - 1

Passo 1

Inicialmente vamos relembrar o que são funções ímpares e funções pares

Uma função é ímpar se:

f x = - f ( - x )

Uma função é ímpar se:

f x = f ( - x )

Passo 2

Falaremos que a nossa função vai ser escrita por I x + P ( x ) .

Em que I x é uma função impar então :

I x = - I ( - x )

Em que   P x é uma função par então :

P x = P ( - x )

Passo 3

Temos então que:

I x + P x = x + x - 1

Trocaremos x por ( - x ) .

I - x + P - x = - x + - x - 1

Lembrando das propriedades das funções impares e pares.

- I x + P x = - x + - x - 1

Botando em sistemas:

I x + P x = - x + - x - 1 - I x + P x = x + x - 1

Somando essas duas equações:

2 P x = - x + - x - 1 + x + x - 1

P x = - x + - x - 1 + x + x - 1 2

Substituindo nessa equação ( I x + P x = x + x - 1 ):

I x + - x + - x - 1 + x + x - 1 2 = x + x - 1

I x = x + x - 1 - - x + - x - 1 + x + x - 1 2

Botando o termo x + x - 1 na fração!!!

. I x = 2 x + 2 x - 1 - - x - - x - 1 - x - x - 1 2 = x + x - 1 - - x - - x - 1 2 =

Reescrevendo essas funções como soma, temos:

x + x - 1 = P x + I ( x )

x + x - 1 = - x + - x - 1 + x + x - 1 2 + x + x - 1 - - x - - x - 1 2

Resposta

x + x - 1 = - x + - x - 1 + x + x - 1 2 + x + x - 1 - - x - - x - 1 2

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