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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 16

13-30 Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

16 ∫ 1 2 1 x 6 d x

Passo 1

Antes de começarmos a fazer a questão, falarei a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ele é assim:

Se f for contínua em [ a , b ] e F for uma antiderivada de f em [ a , b ] , então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Passo 2

Então, nossa ideia é acharmos a antiderivada e para isso faremos a integral indefinida abaixo:

∫ 1 2 1 x 6 d x = ∫ 1 2 x - 6 d x = 1 - 6 + 1 x - 6 + 1 = - 1 5 x - 5

Nossa antiderivada é:

F x = - 1 5 x - 5 = - 1 5 x 5

Passo 3

Agora vamos calcular a integral definida:

∫ 1 2 1 x 6 d x = F 2 - F ( 1 )

Lembrando que

F x = - 1 5 x 5

Vamos calcular

F 2 = - 1 5 × 2 5 = - 1 5 × 32 = - 1 160

F 1 = - 1 5 × 1 5 = - 1 5 × 1 = - 1 5

Voltando para a integral definida:

∫ 1 2 1 x 6 d x = - 1 160 - - 1 5 = - 1 160 + 1 5 = - 1 + 32 160 = - 31 160

Resposta

∫ 1 2 1 x 6 d x = - 31 160

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Determine a área total da região compreendida entre o gráfico de f x = 1 - x , 0 ≤ x ≤ 4 .
Determine a área total da região compreendida entre o gráfico de f x = 1 - x 2 4 , - 2 ≤ x ≤ 3 .
Determine a área total da região compreendida entre o gráfico de f x = 5 - 5 x 2 3 , - 1 ≤ x ≤ 8 .