Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 14
Determine a área total da região compreendida entre o gráfico de ,
Passo 1
Perceba que inicialmente esboçar o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição
Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima menos a função de baixo
Passo 2
Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,
Onde, pelo que podemos ver de até é a função que está por cima, é a função que está por baixo e a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Porém a partir de até , isso muda e passar a ser a função que está por cima epassa a ser a função que está por baixo. Sendo assim a integral será :
Cujos limites de integração foram obtidos, a partir de onde a parte hachurada começa até o ponto de intersecção entre as duas curvas, como há duas áreas distintas, então haverá duas integrais.
Passo 3
Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar, ou seja,
Usando a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais) e a regra da soma (a integral da soma é a soma das integrais)
Utilizando o fato de
Pelo Teorema Fundamental do Calculo Parte II,
Resposta
A área total da região compreendida entre o gráfico de ,
é igual à