Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 11
11-12 Encontre todos os valores de no intervalo dado que satisfazem a Equação do Teorema do valor médio para Integrais e explique o que esses números representam.
11. (a) ;
(b) ;
Passo 1
Vou começar mostrando essa famigerada equação 8, que ele diz. É na verdade o Teorema do Valor Médio.
Basicamente, o que esse teorema diz é que existe uma função constante que tem área igual o valor da integral, é o mesmo conceito que você verá em Força Média!!
Passo 2
Utilizando a Equação 8, temos:
Vamos calcular a integral abaixo:
Antes vamos fazer a integral indefinida:
Usaremos a antiderivada , voltando para a integral definida, temos:
Agora vamos ajeitar essa paradinha aqui ò:
Voltando, temos:
Agora, utilizando o Teorema do valor médio:
Agora temos que calcular o valor .
Se
Então:
Elevando ao quadrado:
Passo 3
Utilizando a Equação 8, temos:
Vamos calcular a integral abaixo:
Antes vamos fazer a integral indefinida:
Usaremos a antiderivada , voltando para a integral definida, temos:
Agora, utilizando o Teorema do valor médio:
Agora temos que calcular o valor .
Se
Então:
Tem de estar no intervalo de , então:
Resposta
a)
b)