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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 9

5-10 Encontre a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo dado.

7 . f x = e 2 x ; [ 0 , ln ⁡ 2 ]

Passo 1

A área de uma região, que é delimitada por uma função e por intervalo, é dado por uma integral.

A área da região dessa questão é dada por:

A = ∫ 0 ln ⁡ 2 e 2 x d x

E lembrando que:

Passo 2

Vamos antes de fazer a integral definida, calcular a integral indefinida:

∫ e 2 x d x

Chamaremos u = 2 x

Derivando, temos:

d u = 2 d x

Substituindo tudo na integral acima:

∫ e u d u 2 = 1 2 ∫ e u d u = 1 2 e u + C

Voltando para o termo em x , temos:

∫ e 2 x d x = 1 2 e 2 x + C

Passo 3

Agora vamos calcular a integral definida, pegando a anti derivada 1 2 e 2 x .

∫ 0 ln ⁡ 2 e 2 x d x = 1 2 e 2 x ln ⁡ 2 0 = 1 2 e 2 ln ⁡ 2 - 1 2 e 2 × 0 = e 2 ln ⁡ 2 2 - 1 2

e ln ⁡ 2 = 2

Então,

e 2 ln ⁡ 2 = 2 2 = 4

Voltando para a integral:

∫ 0 ln ⁡ 2 e 2 x d x = e 2 ln ⁡ 2 2 - 1 2 = 4 2 - 1 2 = 3 2

Então a área da região é:

A = 3 2

Resposta

A = 3 2

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