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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 7

Expresse o limite com uma integral definida . Depois, calcule a integral para determinar o valor do limite. P é uma partição do intervalo dado e os números c k são escolhidos dentro dos subintervalos de P.

Passo 1

Antes de iniciar, devemos lembrar qual a cara de um integral definida por somas de Rieman.

Folhando o livro, encontrei essa definição fresquinha (pra tu não precisar ir procurar lá ne migs!) Toma aí:

lim | | P | | → 0 ⁡   ∑ k = 1 n   f c k   Δ x k =   ∫ a b f x d x

Onde P é uma partição de [ a , b ] .

Agora, vamos olhar para o que nos foi dado:

lim | | P | | → 0 ⁡   ∑ k = 1 n cos ⁡ ( c k 2 ) Δ x k    

Onde P é uma partição de [ - π , 0 ] .

Consegue fazer uma comparação? Então, pelo o que nos foi dado,

lim | | P | | → 0 ⁡   ∑ k = 1 n cos ⁡ ( c k 2 ) Δ x k   = ∫ - π 0 cos ⁡ x 2   d x    

Agora é só resolver esse babado. Uma má notícia é que esse cara ai dentro não tem uma primitiva tabelada. Isso significa que vamos para as contas... Mano do céu!

Passo 2

Beleza. Vamos tentar identificar alguma forma de resolver esse babado mais facilmente. Pensando nas contas que já fiz, enxergo que esse cara seria mais resolvível se tivesse somente uma variável elevada a uma potência, que é uma das formas que de resolver integral que a gente já conhece né ? Isso nos dá uma ideia! Vamos fazer uma substituição!

Tome u = x 2   ⇒ 2 d u =   d x

Vamos modificar nosso limite de integração agora.

x = π   ⇒ u = - π 2   e     x = 0 ⇒ u = 0

Então nossa integral fica

∫ - π 0 cos ⁡ x 2   d x =   ∫ - π 2 0 cos ⁡ u     2   d u = 2   s e n   u - π 2 0

= 2 ⋅ s e n 0 - 2 ⋅ s e n - π 2 = 2 ⋅ 0 - - 1 = 2  

Resposta

∫ - π 0 cos ⁡ x 2   d x = 2

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Expresse o limite com uma integral definida . Depois, calcule a integral para determinar o valor do limite. P é uma partição do intervalo dado e os números c k são escolhidos dentro dos subintervalos
Se int_0^2 f ( x ) d x = pi , int_0^2 7 g ( x ) d x = 7 , int_0^1 g ( x ) d x = 2 , determine int_0^2 g ( x ) d x
Se int_(- 2)^2 3 f ( x ) d x = 12 , int_(- 2)^5 f ( x ) d x = 6 , int_(- 2)^5 g ( x ) d x = 2 , determine int_(- 2)^2 f ( x ) d x
Se int_(- 2)^2 3 f ( x ) d x = 12 , int_(- 2)^5 f ( x ) d x = 6 , int_(- 2)^5 g ( x ) d x = 2 , determine int_5^(- 2) g ( x ) d x