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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 36

1-38 Calcule a integral.

36. int_0^(pi) ( x + x cos x ) d x

Passo 1

Vamos começar dando uma ajeitada nessa integral.

int_0^(pi) ( x + x cos x ) d x = int_0^(pi) x d x + int_0^(pi) x cos x d x

Resolver a primeira integral é fácil, fácil. Olha só:

int_0^(pi) x d x = ((x^2)/(2)|_0^(pi) = (pi^2)/(2)

Já a segunda integral,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l -> f u n ç õ e s l o g a r í t m i c a s

i -> i n v e r s a s t r i g o n o m é t r i c a s

a -> f u n ç õ e s a l g é b r i c a s

t -> f u n ç õ e s t r i g o n o m é t r i c a s

e -> f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = x e cos x d x = d v .

{[[u = x -> d u = d x],[cos x = d v -> v = s e n x]])

Passo 2

Assim, vamos ter que

int_0^(pi) x cos x d x = (x s e n x|_0^(pi) - int_0^(pi) s e n x d x

Agora ficou fácil né?!

Resolvendo a integral do lado direito, obtemos

int_0^(pi) s e n x d x = (- cos x|_0^(pi) = 2

Por último, é só a gente calcular isso aqui

(x s e n x|_0^(pi) = 0

Somando as respostas, vemos que

int_0^(pi) ( x + x cos x ) d x = (pi^2)/(2) + 2 + 0 = (pi^2 + 4)/(2)

Resposta

(pi^2 + 4)/(2)

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