Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 16

Calcule a integral.

int arccos (2 x) d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int arccos (2 x) d x

E supondo:

u = arccos (2 x) e d v = d x

Conseguimos encontrar:

d u = - (2)/(sqrt(1 - (2 x)^2)) d x

E:

v = int d x

Ou seja:

v = x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int arccos (2 x) d x = (arccos (2 x)) (x) - int (x) (- (2)/(sqrt(1 - (2 x)^2))) d x

Que pode ser reescrita como:

int arccos (2 x) d x = x arccos (2 x) + 2 int (x)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x

Passo 4

A integral do lado direito da equação pode ser resolvida pelo método da substituição u , usando u = 1 - 4 x^2 , tal que d u = - 8 x d x . Logo, ela será dada por:

int (x)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x = int (1)/(sqrt(u)) (- (d u)/(8)) = - (1)/(8) int (1)/(sqrt(u)) d u

E então:

int (x)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x = - (1)/(8) (2 sqrt(u)) = - (1)/(4) sqrt(u)

Substituindo para a variável de origem:

int (x)/(sqrt(1 - 4 x^2)) d x = - (1)/(4) sqrt(1 - 4 x^2)

Passo 5

Portanto, a integral terá como resultado:

int arccos (2 x) d x = x arccos (2 x) + 2 (- (1)/(4) sqrt(1 - 4 x^2)) + C

Portanto, o resultado final é:

int arccos (2 x) d x = x arccos (2 x) - (1)/(2) sqrt(1 - 4 x^2) + C

Resposta

int arccos (2 x) d x = x arccos (2 x) - (1)/(2) sqrt(1 - 4 x^2) + C

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