Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 18

Calcule a integral.

int x a r c t g x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int x a r c t g x d x

E supondo:

u = a r c t g x e d v = x d x

Conseguimos encontrar:

d u = (1)/(1 + x^2) d x

E:

v = int x d x

Ou seja:

v = (x^2)/(2)

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int a r c t g x d x = (a r c t g x) ((x^2)/(2)) - int ((x^2)/(2)) ((1)/(1 + x^2)) d x

Que pode ser reescrita como:

int a r c t g x d x = (x^2)/(2) a r c t g x - (1)/(2) int (x^2)/(1 + x^2) d x

Passo 4

Como a integral do lado direito da equação não possui um resultado já definido, precisamos deixa-lo em uma forma integrável. Então, com um jogo de cintura, podemos reescrever essa integral como:

int (x^2)/(1 + x^2) d x = int (1 - (1)/(1 + x^2)) d x

Então, a integral agora terá a nova forma:

int a r c t g x d x = (x^2)/(2) a r c t g x - (1)/(2) int (1 - (1)/(1 + x^2)) d x

Ou ainda:

int a r c t g x d x = (x^2)/(2) a r c t g x - (1)/(2) int d x + (1)/(2) int (1)/(1 + x^2) d x

Passo 5

Portanto, a integral terá como resultado:

int a r c t g (3 x) d x = x a r c t g (3 x) - 3 ((1)/(18) ln (1 + 9 x^2)) + C

Portanto, o resultado final é:

int a r c t g (3 x) d x = x a r c t g (3 x) - (1)/(6) ln (1 + 9 x^2) + C

Resposta

int a r c t g (3 x) d x = x a r c t g (3 x) - (1)/(6) ln (1 + 9 x^2) + C

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