Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 4

Calcule a integral.

int x^2 e^(- 2 x) d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int x^2 e^x d x

E supondo:

u_1 = x^2 e d v_1 = e^(- 2 x) d x

Conseguimos encontrar:

d u_1 = 2 x d x

E:

v_1 = int e^(- 2 x) d x

Que, resolvendo através da substituição com a = - 2 x , tal que d a = - 2 d x , obtemos:

v_1 = int e^a (- (d a)/(2)) = - (1)/(2) e^a

Ou seja:

v_1 = - (1)/(2) e^(- 2 x)

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int x^2 e^(- 2 x) d x = x^2 (- (1)/(2) e^(- 2 x)) - int (- (1)/(2) e^(- 2 x)) (2 x d x)

Que pode ser reescrita como:

int x^2 e^(- 2 x) d x = - (1)/(2) x^2 e^(- 2 x) + int x e^(- 2 x) d x

Como não é possível calcular diretamente a integral do lado direito da equação, teremos que aplicar o método da integração por partes novamente.

Passo 4

Dessa forma, considerando um segundo caso em que:

u_2 = x e d v_2 = e^(- 2 x) d x

Conseguimos encontrar:

d u_2 = d x

E:

v_2 = v_1 = - (1)/(2) e^(- 2 x)

Passo 5

Substituindo a segunda integral para a forma da integração por partes:

int x^2 e^(- 2 x) d x = - (1)/(2) x^2 e^(- 2 x) + [x (- (1)/(2) e^(- 2 x)) - int (- (1)/(2) e^(- 2 x)) d x]

Teremos:

int x^2 e^(- 2 x) d x = - (1)/(2) x^2 e^(- 2 x) + [- (1)/(2) x e^(- 2 x) + (1)/(2) (- (1)/(2) e^(- 2 x))] + C

Ou seja:

int x^2 e^(- 2 x) d x = - (1)/(2) x^2 e^(- 2 x) - (1)/(2) x e^(- 2 x) - (1)/(4) e^(- 2 x) + C

Resposta

int x^2 e^(- 2 x) d x = - (1)/(2) x^2 e^(- 2 x) - (1)/(2) x e^(- 2 x) - (1)/(4) e^(- 2 x) + C

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