14. Nesse problema, vamos provar que o erro de truncamento local para a fórmula de Euler aprimorada é proporcional a h^3 . Se supusermos que a solução phi do problema de valor inicial y' = f(t, y), y(t0) = y0 tem derivadas contínuas até a terceira ordem ( f ) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas ) , segue que

ϕ(t_n + h) = ϕ(t_n) + ϕ'(t_n)h + (ϕ''(t_n) / 2!)h² + (ϕ'''(t_n - n) / 2!)h³

Em que t_n < t_n- < t_n+1 . Suponha que y_n = ϕ(t_n)

a) Mostre que para y_n+1 dado pela eq. 5

e_{n+1} = ϕ(t_{n+1}) - y_{n+1}

e_(n+1) = (ϕ''(t_n) - {f[t_n+h, y_n+h] - f(t_n, y_n)}) / 2! * h + (ϕ'''(t_n) * h^3) / 3!

b) Usando o fato que ϕ''(t) = f_t[t, ϕ(t)] + f_y[t, ϕ(t)] ϕ'(t) e de que a aproximação de Taylor com resto para uma função F(t, y) de duas variáveis é da forma

F(a + h, b + k) = F(a, b) + F_t(a, b) * h + F_y(a, b) * h + 1 / 2! * | (h^2 * F_tt + 2hk * F_ty + k^2 * F_yy) |, x = ξ, y = η

Em que xi está entre a e a + h , e eta está entre b e b + k , mostre que o primeiro termo à direita do sinal de igualdade na Eq. (i) é proporcional a mais termos de ordem maior. Esse é o resultado desejado.

c) Mostre que se f(t, y) é linear em t e y , então e_(n+1) = (phi'''(t - n)) / 6 * h^3 , em que t_n < t_{n-1} < t_{n+1} .

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre métodos numéricos.

Olha só! Assumindo que a solução dessa equação tenha derivadas contínuas pelo menos até a terceira ordem...

E também que ϕ t n = y n , ficamos então, com...

ϕ t n + h = ϕ t n + ϕ ' t n h + ϕ ' ' t n 2 ! h 2 + ϕ ' ' ' t - n 2 ! h 3

ϕ t n + 1 = ϕ t n + ϕ ' t n h + ϕ ' ' t n h 2 2 ! + ϕ ' ' ' t - n h 3 3 !

a) Bom! O nosso erro de truncamento local é dado por...

e n + 1 = ϕ t n + 1 - y n + 1

Que é nada mais nada menos do que a diferença entre o valor exato menos o valor aproximado através do método numérico...

Voltando ao que interessa! A fórmula de E u l e r aprimorada...

y n + 1 = y n + h 2 f t n , y n + f t n + 1 , y n + h f t n , y n  

Feito isso, e supondo que ϕ t n = y n , que é o que normalmente acontece; principalmente na condição inicial... É importante destacar que:

ϕ ' t n = f t n , ϕ t n = f t n , y n

Logo, temos que...

e n + 1 = ϕ t n + 1 - y n + 1

e n + 1 = ϕ t n + h f t n , y n + ϕ ' ' t n h 2 2 ! + ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - y n - h 2 f t n , y n + f t n + 1 , y n + h f t n , y n

e n + 1 = h f t n , y n + ϕ ' ' t n h 2 2 ! + ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 f t n , y n + f t n + 1 , y n + h f t n , y n

e n + 1 = ϕ ' ' t n - { f t n + h , y n + h f t n , y n - f ( t n , y n } 2 ! h + ϕ ' ' ' t n h 3 3 !

Pronto! Essa primeira parte de obter o erro de truncamento já foi!

Passo 2

b) Pra essa letra, vamos começar logo como faz o problema 14 , que é o que nós estamos trabalhando. Bora pra segunda derivada de ϕ t ...

ϕ ' ' t = f t t , ϕ t + f y t , ϕ t ϕ ' t

Além disso,

f t n + 1 2 h , y n + 1 2 h f t n , y n = f t n , y n + f t t n , y n h 2 + f y t n , y n k + 1 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

Sendo que...

k = 1 2 h f t n , y n

E também,

t n < ξ < t n + h 2

  y n < η < y n + k

Desse modo, nosso erro vai ficar com a seguinte cara...

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

É importante observar aí que cada termo entre colchetes tem um fator de h 2 . Portanto, o erro de truncamento local é proporcional a h 3 .

Passo 3

c) Pra finalizar... No caso de estarmos trabalhando com uma função f ( t , y ) linear, então temos que...

f t t = 0

f t y = 0

f y y = 0

Desse modo, o nosso erro vai ficar assim...

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 ⋅ 0 + h k ⋅ 0 + k 2 ⋅ 0 t = ξ , y = η  

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 !

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 6

E pronto! Finalizamos aqui!

Resposta

a)

e n + 1 = ϕ ' ' t n - { f t n + h , y n + h f t n , y n - f ( t n , y n } 2 ! h + ϕ ' ' ' t n h 3 3 !

b)

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

c)

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 6

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