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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 14

14. Nesse problema, vamos provar que o erro de truncamento local para a fórmula de E u l e r aprimorada é proporcional a h 3 . Se supusermos que a solução ϕ do problema de valor inicial y ' = f t , y ,   y t 0 = y 0 tem derivadas contínuas até a terceira ordem   ( f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas ) , segue que

ϕ t n + h = ϕ t n + ϕ ' t n h + ϕ ' ' t n 2 ! h 2 + ϕ ' ' ' t - n 2 ! h 3

Em que t n < t - n < t n + 1 . Suponha que y n = ϕ t n

a) Mostre que para y n + 1 dado pela eq. 5

e n + 1 = ϕ t n + 1 - y n + 1

e n + 1 = ϕ ' ' t n - { f t n + h , y n + h f t n , y n - f ( t n , y n } 2 ! h + ϕ ' ' ' t n h 3 3 !

b) Usando o fato que ϕ ' ' t = f t t , ϕ t + f y t , ϕ t ϕ ' t e de que a aproximação de Taylor com resto para uma função F ( t , y ) de duas variáveis é da forma

F a + h , b + k = F a , b + F t a , b h + F y a , b h + 1 2 ! ( h 2 F t t + 2 h k F t y + k 2 F y y ) x = ξ , y = η  

Em que ξ   está entre   a e a   +   h , e η está entre   b e b   +   k , mostre que o primeiro termo à direita do sinal de igualdade na Eq. (i) é proporcional a h ³ mais termos de ordem maior. Esse é o resultado desejado.

c) Mostre que se f ( t , y ) é linear em t e y , então e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n 6 h 3 , em que t n < t - n < t n + 1 .

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre métodos numéricos.

Olha só! Assumindo que a solução dessa equação tenha derivadas contínuas pelo menos até a terceira ordem...

E também que ϕ t n = y n , ficamos então, com...

ϕ t n + h = ϕ t n + ϕ ' t n h + ϕ ' ' t n 2 ! h 2 + ϕ ' ' ' t - n 2 ! h 3

ϕ t n + 1 = ϕ t n + ϕ ' t n h + ϕ ' ' t n h 2 2 ! + ϕ ' ' ' t - n h 3 3 !

a) Bom! O nosso erro de truncamento local é dado por...

e n + 1 = ϕ t n + 1 - y n + 1

Que é nada mais nada menos do que a diferença entre o valor exato menos o valor aproximado através do método numérico...

Voltando ao que interessa! A fórmula de E u l e r aprimorada...

y n + 1 = y n + h 2 f t n , y n + f t n + 1 , y n + h f t n , y n  

Feito isso, e supondo que ϕ t n = y n , que é o que normalmente acontece; principalmente na condição inicial... É importante destacar que:

ϕ ' t n = f t n , ϕ t n = f t n , y n

Logo, temos que...

e n + 1 = ϕ t n + 1 - y n + 1

e n + 1 = ϕ t n + h f t n , y n + ϕ ' ' t n h 2 2 ! + ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - y n - h 2 f t n , y n + f t n + 1 , y n + h f t n , y n

e n + 1 = h f t n , y n + ϕ ' ' t n h 2 2 ! + ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 f t n , y n + f t n + 1 , y n + h f t n , y n

e n + 1 = ϕ ' ' t n - { f t n + h , y n + h f t n , y n - f ( t n , y n } 2 ! h + ϕ ' ' ' t n h 3 3 !

Pronto! Essa primeira parte de obter o erro de truncamento já foi!

Passo 2

b) Pra essa letra, vamos começar logo como faz o problema 14 , que é o que nós estamos trabalhando. Bora pra segunda derivada de ϕ t ...

ϕ ' ' t = f t t , ϕ t + f y t , ϕ t ϕ ' t

Além disso,

f t n + 1 2 h , y n + 1 2 h f t n , y n = f t n , y n + f t t n , y n h 2 + f y t n , y n k + 1 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

Sendo que...

k = 1 2 h f t n , y n

E também,

t n < ξ < t n + h 2

  y n < η < y n + k

Desse modo, nosso erro vai ficar com a seguinte cara...

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

É importante observar aí que cada termo entre colchetes tem um fator de h 2 . Portanto, o erro de truncamento local é proporcional a h 3 .

Passo 3

c) Pra finalizar... No caso de estarmos trabalhando com uma função f ( t , y ) linear, então temos que...

f t t = 0

f t y = 0

f y y = 0

Desse modo, o nosso erro vai ficar assim...

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 ⋅ 0 + h k ⋅ 0 + k 2 ⋅ 0 t = ξ , y = η  

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 !

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 6

E pronto! Finalizamos aqui!

Resposta

a)

e n + 1 = ϕ ' ' t n - { f t n + h , y n + h f t n , y n - f ( t n , y n } 2 ! h + ϕ ' ' ' t n h 3 3 !

b)

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 3 ! - h 2 ! h 2 4 f t t + h k f t y + k 2 f y y t = ξ , y = η  

c)

e n + 1 = ϕ ' ' ' t - n h 3 6

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