Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 9
Em cada um dos problemas de 1 a 10:
(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
(c) Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.
(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.
9.
Passo 1
a) Sabemos que quando o primeiro termo da equação zera. Vamos reescrever essa equação desse jeito:
Sendo que:
E dividir tudo por :
Agora que a gente tem a parte da equação que causa a singularidade no denominador, fica mais fácil sabermos se ela é regular ou não, basta aplicarmos o limite, mas antes vamos multiplicar toda a função por :
Aplicando limite para a singularidade nas duas razões:
Como os dois limites são finitos, o ponto é singular regular.
Passo 2
b) Para podermos determinar a equação indicial e suas raízes, vamos precisar usar a solução por série:
E suas derivadas:
Na equação diferencial.
Vai ficar assim:
Resolvendo os produtos que estão do lado de fora dos somatórios:
Como um dos termos tem expoente , quando , a potência de já começa em , então podemos deslocar o índice uma vez:
Só que como queremos juntar tudo num somatório só, vamos deslocar o índice dos outros termos. Isso faz com que a gente precise colocar o termo de do lado de fora:
Passo 3
A gente precisa que a equação seja igual a zero para todo , a única maneira disso ser verdade é se os coeficientes que multiplicam cada potência seja zero, mas como estamos supondo que , a única coisa que pode ser zero então é:
Essa vai ser nossa equação indicial, e as raízes serão:
Passo 4
Com elas, podemos encontrar a relação de recorrência, já que o termo de dentro do somatório também precisa ser zero:
Isolando :
Reescrevendo:
Agora substituímos as nossas raízes, começamos com :
E a recorrência fica:
Passo 5
c) As soluções diferem por um inteiro, o que significa que só precisamos da solução que corresponde à maior raiz. Pegando a solução que supomos la no Passo 2:
Substituindo e :
Sem esquecer que o somatório agora começa em , e por isso precisamos colocar algo somando do lado de fora que corresponde ao , isso aconteceu porque durante os passos, a gente precisou deslocar uma vez o índice, lembra?
E o do lado de fora é por causa da nossa raíz da equação indicial que substituímos na resposta.