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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 21

Em cada um dos problemas de 18   a 21 , efetueum passo do método de Euler e do método de Euler aprimorado usando o tamanho de passo h   =   0,1 . Suponha que se deseja um erro de truncamento local não maior do que 0,0025 . Estime o tamanho de passo necessário para o método de Euler satisfazer essa condição no primeiro passo.

21. y ' = y 2 + 2 t y 3 + t 2 ,     y 0 = 0,5

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre métodos numéricos.

Olha só! Vamos primeiramente usar o método de E u l e r para fazer a nossa primeira iteração...

y n + 1 = y n + h y n 2 + 2 t n y n 3 + t n 2

Para a primeira iteração, temos que...

y 1 = y 0 + h y 0 2 + 2 t 0 y 0 3 + t 0 2

y 1 = 0.5 + 0.1 ⋅ ( 0.5 ) 2 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0.5 3 + 0

y 1 = 0.5 + 0.1 ⋅ ( 0.5 ) 2 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0.5 3 + 0

y 1 = 0.508334

Passo 2

Em seguida, bora fazer a primeira iteração usando o método de E u l e r aperfeiçoado.

y n + 1 = y n + h 2 y n 2 + 2 t n y n 3 + t n 2 + h 2 K n 2 + 2 t n + 1 K n 3 + t n + 1 2

Sendo que...

K n = y n + h y n 2 + 2 t n y n 3 + t n 2

K 0 = y 0 + h y 0 2 + 2 t 0 y 0 3 + t 0 2

K 0 = 0.5 + 0.1 ⋅ ( 0.5 ) 2 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0.5 3 + 0

K 0 = 0.508334

O que nos leva à...

y n + 1 = y n + h 2 y n 2 + 2 t n y n 3 + t n 2 + h 2 K n 2 + 2 t n + 1 K n 3 + t n + 1 2

y 1 = y 0 + h 2 y 0 2 + 2 t 0 y 0 3 + t 0 2 + h 2 K 0 2 + 2 t 1 K 0 3 + t 1 2

y 1 = 0.5 + 0.1 2 ( 0.5 ) 2 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0.5 3 + 0 + 0.1 2 ( 0.508334 ) 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 0.1 ⋅ 0.508334 3 + 1 ⋅ 0.1

y 1 =   0.510148

Passo 3

Desse modo, comparando os resultados dos P a s s o s 1 e 2 , temos que o erro estimado e 1 é de...

e 1 = 0.510148 - 0.508334 = 0.0018

Com esse erro, temos que o tamanho de cada passo deve ser ajustado por um fator f de acordo com a equação abaixo...

f = 0.0025 0.0018

f = 1.3889

f = 1.1785

Assim, o novo tamanho do passo vai ser igual à...

h = f ⋅ 0.1

h = 1.1785 ⋅ 0.1

h ≈ 0.117

Pronto! Exercício finalizado!

Resposta

E u l e r → y 1 = 0.508334

E u l e r   a p e r f e i ç o a d o → y 1 = 0.510148

P a s s o   n e c e s s á r i o :   h ≈ 0.117

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