Enunciado

Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.

G (x) = (3 x + | x |)/(x)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente esboce o gráfico e encontre o domínio da seguinte função:

G (x) = (3 x + | x |)/(x)

Isso significa que vamos ter que determinar os valores de x para os quais a nossa função está definida.

Só que é mais fácil pensar em quais valores de x a função não pode assumir, por isso procuramos sempre por restrições para definir o domínio de uma função. Se ela não tiver nenhuma restrição, seu domínio será todo o conjunto dos números reais.

Dessa forma, vamos sempre analisar se existem valores que deixem um denominador igual a zero ou que façam uma raiz de índice par ter o radicando negativo, por exemplo.

Observe que a nossa função tem um módulo, então vamos precisar usar a definição de função modular para encontrar as restrições dela e, em seguida, esboçar nosso gráfico.

Vamos lá!

Passo 2

Como a nossa função tem um módulo, vamos começar pescando a definição de módulo:

|x| = {[[x s e x >= 0],[- x s e x < 0]])

Agora, que tal somar 3 x dos dois lados da equação? Olha só como fica:

3 x + |x| = {[[3 x + (x) s e x >= 0],[3 x + (- x) s e x < 0]])

3 x + |x| = {[[4 x s e x >= 0],[2 x s e x < 0]])

Dividindo todo mundo agora por x , temos:

(3 x + |x|)/(x) = {[[(4 x)/(x) s e x > 0],[(2 x)/(x) s e x < 0]])

Agora temos a nossa função G (x) = (3 x + | x |)/(x) do lado esquerdo da equação, então encontramos uma definição pra ela do lado direito.

Nota uma coisa importantíssima agora! Se eu dividi por x , então eu tenho que transformar >= em > ! Afinal, não posso dividir nada por zero! Vemos então que nessa função, o zero não está definido! Cortando os x nas definições (simplificando), chegamos a:

(3 x + |x|)/(x) = {[[4 s e x > 0],[2 s e x < 0]])

Logo,

G (x) = {[[4 s e x > 0],[2 s e x < 0]])

Passo 3

E esse é o nosso último passo galera! Como:

G (x) = {[[4 s e x > 0],[2 s e x < 0]])

Temos uma constante se x for maior do que zero e outra constante se x for menor do que zero. Dessa forma, nosso gráfico fica assim:

E essa bolinha branca é bem importante viu? Ela mostra que G (0) nem é igual a 2 e nem igual a 4 ! Afinal, G (0) é indefinido! Pra qualquer outro valor de x , a função ou assume o valor 2 ou o 4 . Portanto o nosso domínio são todos os números reais, exceto o zero, ou seja:

D_G (x) = R - {0}

Ou, na notação de intervalo:

D_G (x) = (- oo , 0) uu ( 0 , oo )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D_G (x) = R - {0}

G r á f i c o n o s p a s s o s

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