Calcule a integral

∫ d u u 5 - u 2

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Veja bem, queremos aqui resolver essa integral indefinida. Vamos começar então pelo método mais elementar, e caso o mesmo não se mostre possível a gente vai pensando em outros métodos.

Nessa aqui, uma substituição simples não funciona, então irei lhe apresentar a substituição trigonométrica. O próprio livro tem uma tabela que ajuda bastante.

Passo 2

Para resolver essa integral iremos utilizar a seguinte forma a 2 - x 2 . Então iremos substituir assim

u = 5 sin ⁡ θ

d u = 5 cos ⁡ θ d θ

Agora substituindo na integral:

∫ d u u 5 - u 2 = ∫ 5 cos ⁡ θ d θ 5 sin ⁡ θ 5 - 5 sin ⁡ θ 2

= ∫ cos ⁡ θ d θ sin ⁡ θ 5 1 - sin 2 ⁡ θ

= 1 5 ∫ cos ⁡ θ d θ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ

= 1 5 ∫ cos ⁡ θ d θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ

= 1 5 ∫ d θ sin ⁡ θ

= 1 5 ∫ csc ⁡ θ d θ

Passo 3

Para resolver esta integral, vamos utilizar a identidade trigonométrica ( csc 2 ⁡ x = cot 2 ⁡ x + 1 ) . Agora, a integral dada se transforma em:

∫ d u u 5 - u 2 = 1 5 ∫ csc ⁡ x d x

= 1 5 ∫ cot 2 ⁡ x + 1 d x

= 1 5 ∫ cot 2 ⁡ x + 1 - csc 2 ⁡ x - csc 2 ⁡ x d x

= - 1 5 ∫ cot 2 ⁡ x + 1 - csc 2 ⁡ x - csc 2 ⁡ x d x

= - 1 5 ∫ cot 2 ⁡ x + 1 cot 2 ⁡ x + 1 - csc 2 ⁡ x d x

= - 1 5 ∫ t 2 + 1 t 2 + 1 d t

= - 1 5 ∫ d t t 2 + 1

Temos que a integral acima é tabelada

∫ d u u 5 - u 2 = - 1 5 ∫ d t t 2 + 1

= - 1 5 ln ⁡ t + t 2 + 1 + C

= - 1 5 ln ⁡ | c t g   θ + c t g 2 θ + 1 | + C

Passo 4

Para obter o resultado final em termos de u , precisamos substituir θ por u . A partir do passo 2, temos:

u = 5 sin ⁡ θ

u 5 = sin ⁡ θ

arcsin ⁡ u 5 = θ

Substituindo ( cot ⁡ θ ) por ( cos ⁡ θ / sin ⁡ θ ) (também substituiremos ( cos 2 ⁡ θ ) por ( sin 2 ⁡ θ ) devido a (   a r c s i n ⁡ ) ) , e em seguida, usando a substituição, obtemos o resultado final da seguinte forma:

∫ d u u 5 - u 2 = - 1 5 ln ⁡ | c t g   θ + c t g 2   θ + 1 | + C

= - 1 5 ln ⁡ | cos ⁡ θ sin ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 1 | + C  

= - 1 5 ln ⁡ 1 - sin 2 ⁡ θ sin ⁡ θ + 1 - sin 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 1 + C

= - 1 5 ln ⁡ 1 - sin 2 ⁡ θ sin ⁡ θ + 1 sin ⁡ θ

= - 1 5 ln ⁡ 1 + 1 - sin 2 ⁡ θ sin ⁡ θ

= - 1 5 ln ⁡ 1 + 1 - sin 2 ⁡ arcsin ⁡ u 5 sin ⁡ arcsin ⁡ u 5

= - 1 5 ln ⁡ 1 + 1 - u 5 2 u 5

= - 1 5 ln ⁡ 1 + 5 - u 2 5 u 5

= - 1 5 ln ⁡ 5 + 5 - u 2 5 u 5

= - 1 5 ln ⁡ 5 + 5 - u 2 u

Resposta

= - 1 5 ln ⁡ 5 + 5 - u 2 u

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados