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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 15

15- Determine o centro de massa de uma placa fina que abrange a região entre o eixo x e a curva y = 2 / x 2 , 1 ≤ x ≤ 2 , se a densidade da placa no ponto ( x , y ) for δ x = x 2 .

Passo 1

A curva y = 2 x 2 tem x variando de 1 até 2. Para x = 1 :

x = 1 → y = 2 1 2 = 2

Para x = 2 :

x = 2 → y = 2 2 2 = 1 2

Plotando o gráfico temos:

Passo 2

O comprimento da linha vertical vale:

L = 2 x 2 - 0

E como a largura dessa linha vale d x logo sua área vale:

d A = 2 x 2 d x

Logo sua massa valerá:

d m = δ 2 x 2 d x

Mas como sua densidade varia de acordo em função de x e vale x 2 logo temos:

d m = 2 d x

O valor de x médio valerá:

x m = x

O valor de y médio valerá:

y m = 2 x 2 + 0 2 = 1 x 2

Passo 3

Calculando M teremos:

M = ∫ 1 2 2 d x = 2 x 1 2 = 4 - 2 = 2

Calculando M x :

M x = ∫ 1 2 2 x 2   d x = - 2 x 1 2 = - 2 2 + 2 = 1

Calculando M y :

M y = ∫ 1 2 2 x   d x = 2 x 2 2 1 2 = 4 - 1 = 3

Passo 4

Fazendo x - :

x - = M y M = 3 2

E fazendo y   ̅ :

y - = M x M = 1 2

Resposta

Centro de massa:

x - , y - = 3 2 , 1 2

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