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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 59

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Desta forma, se f (x) >= g ( x ) ao longo de um intervalo [a , b] , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = int_a^b [f (x) - g (x)] d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f (x) = x^2 - 4 e g (x) = - x^2 - 2 x . Além disto, observe a mudança do comportamento das funções. Entre [- 3 , x_0] , f (x) >= g ( x ) e entre o intervalo [x_0 , 1] ocorre o contrário. Desta forma, a área da região em cinza é dada por:

A = int_(- 3)^(x_0) (x^2 - 4) - (- x^2 - 2 x) d x + int_(x_0)^1 (- x^2 - 2 x) - (x^2 - 4) d x

A = int_(- 3)^(x_0) 2 x^2 + 2 x - 4 d x + int_(x_0)^1 - 2 x^2 - 2 x + 4 d x

Observe que é necessário separar em uma soma de integrais devido à mudança no comportamento da imagem das funções.

Passo 3

Estamos quase prontos para resolver a integral e a nossa questão. Só temos um leve problema. Afinal, quem é esse x_0 que aparece nos limites de integração? Ele é a coordenada x do ponto de interseção entre as duas curvas. Antes dele nós tínhamos f (x) >= g ( x ) e depois dele g (x) >= f ( x ) . Portanto, basta igualar as duas funções e resolver a equação. Desta forma, temos:

x^2 - 4 = - x^2 - 2 x

2 x^2 + 2 x - 4 = 0

x^2 + x - 2 = 0

Resolvendo a equação acima, obtemos x_1 = 1 e x_2 = - 2 . Como o ponto x_0 encontra-se sobre o semieixo negativo de x , temos que x_0 = - 2 . Portanto, a área é dada por:

A = int_(- 3)^(- 2) 2 x^2 + 2 x - 4 d x + int_(- 2)^1 - 2 x^2 - 2 x + 4 d x

Passo 4

Vamos resolver agora nossa integral.

A = int_(- 3)^(- 2) 2 x^2 + 2 x - 4 d x + int_(- 2)^1 - 2 x^2 - 2 x + 4 d x

A = ([(2)/(3) x^3 + x^2 - 4 x]|_(- 3)^(- 2) + ([- (2)/(3) x^3 - x^2 + 4 x]|_(- 2)^1

A = [((2)/(3) * - 8 + 4 + 8) - ((2)/(3) * - 27 + 9 + 12)] + [(- (2)/(3) * 1 - 1 + 4) - ((2)/(3) * 8 - 4 - 8)]

A = [(- (16)/(3) + 12) - (- (54)/(3) + 21)] + [(- (2)/(3) + 3) - ((16)/(3) - 12)]

A = - (16)/(3) + 12 + (54)/(3) - 21 - (2)/(3) + 3 - (16)/(3) + 12

A = 6 + (20)/(3) = (38)/(3)

Resposta

A = (38)/(3)

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