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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 57

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Observe que a região é limitada a esquerda por uma curva g ( y ) e a direita por outra curva f ( y ) , além disto, é limitada inferiormente por y = a e superiormente por y = b . Desta forma, podemos expressar a área desta região a partir da seguinte integral:

A = int_a^b [f (y) - g (y)] d y

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A curva f , que limita o nosso intervalo a direita, é obtido através da seguinte equação: y = x^2 // 4 . Se isolarmos o x , obteremos x = f (y) = sqrt(4 y) = 2 sqrt(y) . Já a função g , que limita a nossa região a esquerda, é dada por g (y) = y . O intervalo de integração é [0,1] , isto é, é limitada inferiormente por y = 0 e superiormente por y = 1 . Desta forma, a área da região em cinza pode ser expressa pela seguinte integral:

A = int_0^1 2 sqrt(y) - y d y

Passo 3

Vamos resolver agora a nossa integral.

A = int_0^1 2 sqrt(y) - y d y = ([(4)/(3) y^(3 // 2) - (y^2)/(2)]|_0^1

A = ((4)/(3) - (1)/(2)) - (0 + 0)

A = (5)/(6)

Resposta

A = (5)/(6)

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