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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 16

16- Determine o centro de massa de uma placa fina que abrange a região limitada abaixo pela parábola y = x 2 e acima pela reta y = x , se a densidade da placa no ponto ( x , y ) for δ x = 12 x .

Passo 1

As curvas dadas se encontram nos pontos x = 0 e x = 1 . Basta igualar-las para encontrar, e com isso temos a nossa variação em x . Com isso, e com a informação que y = x encontra-se acima da parábola no intervalo dado temos o seguinte gráfico.

Passo 2

O comprimento da linha vertical vale:

L = x - x ^ 2

E como a largura dessa linha vale d x logo sua área vale:

d A = ( x - x 2 ) d x

Logo sua massa valerá:

d m = δ ( x - x 2 ) d x

Mas como sua densidade varia de acordo em função de x e vale 12 x logo temos:

d m = 12 x ( x - x 2 ) d x

d m = 12 x 2 - 12 x 3 d x

O valor de x médio valerá:

x m = x

O valor de y médio valerá:

y m = x + x 2 2

Passo 3

Calculando M teremos:

M = ∫ 0 1 12 x 2 - 12 x 3 d x = 12 x 3 3 - x 4 4 0 1 = 1

Calculando M x :

M x = 12 2 ∫ 0 1 ( x + x 2 ) ( x 2 - x 3 )   d x = 6 ∫ 0 1 x 3 - x 4 + x 4 - x 5 = 6 x 4 4 - x 6 6 0 1 = 1 2  

Calculando M y :

M y = 12 ∫ 0 1 x ( x 2 - x 3 )   d x = 12 ∫ 0 1 x 3 - x 4 d x = 12 x 4 4 - x 5 5 0 1 = 12 20 = 3 5

Passo 4

Fazendo x - :

x - = M y M = 3 5 1

E fazendo y   ̅ :

y - = M x M = 1 2 1

Resposta

Centro de massa:

x - , y - = 3 5 , 1 2

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