32- Determine a função comprimento de arco para a curva do Exercício 8, usando (0, 1/4) como ponto inicial. Qual é o comprimento da curva de (0, 1/4) até (1, 59/24) ?

Passo 1

A curva do exercício 8 é:

y = x 3 3 + x 2 + x + 1 4 x + 4

Como a função comprimento é:

L = ∫ 1 + d y d x 2     d x

Por isso precisamos fazer a derivada em relação a x da função y que é:

d y d x = x 2 + 2 x + 1 - 4 4 x + 4 - 2

O que pode ser escrito como:

d y d x = x + 1 2 - 4 16 x + 1 2

d y d x = x + 1 2 - 1 4 x + 1 2

E a questão diz que x varia de 0 a 1.

Passo 2

Substituindo d y d x na função comprimento temos:

L = ∫ 0 1 1 + x + 1 2 - 1 4 x + 1 2 2   d x

Fazendo o MMC dentro do quadrado temos:

L = ∫ 0 1 1 + 4 x + 1 4 - 1 4 x + 1 2 2   d x

L = ∫ 0 1 16 x + 1 4 + 4 x + 1 4 - 1 2 16 x + 1 4       d x

Fazendo a operação quadrática no numerador:

L = ∫ 0 1 16 x + 1 4 + 16 x + 1 8 - 8 x + 1 4 + 1 16 x + 1 4 d x

L = ∫ 0 1 16 x + 1 8 +   8 x + 1 4 + 1 16 x + 1 4   d x

No numerador é como se tivéssemos :

16 a 2 + 8 a + 1 = 4 a + 1 2

Logo:

L = ∫ 0 1 4 x + 1 4 + 1 2 16 x + 1 4   d x

Tirando a raiz temos:

L = ∫ 0 1 4 x + 1 4 + 1 4 x + 1 2 d x

L = ∫ 0 1 4 x + 1 4 4 x + 1 2 + 1 4 x + 1 2 d x

L = ∫ 0 1 ( x + 1 2 + 1 4 x + 1 2 )     d x

Passo 3

Substituindo:

u = x + 1

Temos :

d u = d x

E nossas variáveis que iam de 0 a 1 agora vão de:

u 1 = 0 + 1 = 1

u 2 = 1 + 1 = 2  

Aplicando na integral:

L = ∫ 1 2 u 2 + 1 4 u 2 d u

L = u 3 3 1 2 + 1 4 ∫ 1 2 u - 2   d u

L = 8 3 - 1 3 - 1 4 u 1 2

L = 7 3 - 1 8 + 1 4

L = 8 × 7 24 - 3 24 + 6 24 = 59 24

Resposta

L = 59 24

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O Gateway Arch, em St. Louis, foi construído usando a equação y = 211,49 - 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x para a curva central do arco, em que x e y estão medidos em metros e x91,20 . Escreve uma integral
Ache o comprimento da curva.y = ln ( 1 - x^2 ) , 0 = x = 1 // 2
Ache o comprimento da curva.18y = ln((e^x + 1) / (e^x - 1)), a ≤ x ≤ b, a0
Trace a curva e estime visualmente seu comprimento. A seguir, encontre seu comprimento exato.y = x^2 + x^3, 1 ≤ x ≤ 2
Desenhe a curva y = 1/3 * x³ + 1/(4x), x0. ³ Encontre a função comprimento do arco para essa curva com o ponto inicial P_0(1, 7/12) Desenhe a função comprimento de arco