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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 66

Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas

y = x 2 - 2 x

E

y = x

Passo 1

Para podermos determinar a área de uma região compreendida entre duas curvas, precisamos obter um esboço do gráfico. Com ele, poderemos determinar qual o nosso intervalo de integração, qual curva está acima da outra e se há uma mudança neste comportamento. Sendo assim, vamos utilizar recursos gráficos para ajudar nesta visualização. Descoberto o intervalo a , b e que f x ≥ g ( x ) ao longo deste intervalo, então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por obter o esboço das curvas.

A nossa região está limitada acima pela função f x = x , abaixo por g x = x 2 - 2 x e o intervalo de integração é x A , x B em que x A e x B são as coordenadas x dos pontos A e B, pontos de interseção de f ( x ) e g ( x ) . Para calcular estas coordenadas basta igualar as duas funções e resolver a equação. Desta forma, temos:

x 2 - 2 x = x

x ( x - 3 ) = 0

Portanto, as únicas soluções reais são temos x 1 = 0 e x 2 = 3 . Logo, temos que x A = 0 e x B = 3 . Portanto, a nossa integral é:

A = ∫ 0 3 x - x 2 - 2 x   d x

A = ∫ 0 3 - x 2 + 3 x   d x

Passo 3

Vamos resolver agora nossa integral.

A = ∫ 0 3 - x 2 + 3 x   d x

A = - x 3 3 + 3 x 2 2 0 3

A = - 27 3 + 27 2 - 0 + 0

A = 9 2

Resposta

A = 9 2

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