Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 59b
(b) Se , em dólares, encontre o custo, o custo médio e o custo marginal no nível de produção de unidades; o nível de produção que minimizará o custo médio; e o custo médio mínimo.
Passo 1
Fala aí! tudo certinho? 😎
Nesse problema foi dada a função
Que representa o custo para produzir unidades de um produto.
A partir dessa função queremos determinar o custo, o custo médio e o custo marginal no nível de produção de unidades e também o nível de produção que minimizará o custo médio e o custo médio mínimo.
Muita coisa, não é? 👀
Vamos por partes...
Custo Médio 🡪 Para encontrar o custo médio, precisamos fazer a função custo dividida pela quantidade de produtos, como se fosse uma média entre o Custo total e quantidade de produtos, blz?
Custo Marginal 🡪 Aqui quero o que está na margem como o próprio nome já diz, e o que está na margem? A tangente de um gráfico, então para o custo marginal calculamos a derivada de , que aplicamos para o tanto de unidades do problema.
Minimizar o Custo médio 🡪 Aqui nós comparamos o custo médio com o custo marginal, e quando digo comparar, que dizer, igualar as duas funções e encontrar o que será a quantidade de produtos que minimizará o custo médio.
Custo Médio Mínimo 🡪 Para esse item a gente pega a quantidade de produtos calculados para minimizar o custo médio, e jogamos na função de custo médio.
Prontos para detonar essa questão? Bora lá!
Passo 2
Para achar o custo é só a gente fazer a função custo com
Para a gente achar o custo médio basta fazer , ou seja, dividi-la por .
O custo marginal é a derivada de , então, vamos usar a regra da derivação de potências e encontrar nossa :
Aplicando em :
E agora calculando para unidades:
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
O custo marginal é igual ao custo médio mínimo então:
Colocando em evidência
Bacana, não é? 😉
Passo 4
O custo médio mínimo é :
E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😇
Resposta