Há 100 litros de água salgada em um tanque e essa água contém 70 kg de sal dissolvidos. Despeja-se água pura no tanque a uma taxa de 3 L/min e o conteúdo é misturado permanentemente, mantendo-se uniforme, e escoando na mesma taxa. Quantos quilogramas de sal existirão no tanque após uma hora?

Passo 1

Se y ( t ) for a quantidade de sal dissolvido após t horas, e sabendo que a água salgada sai a uma taxa de 3 L/min, podemos calcular a taxa de saída de sal da seguinte maneira:

y 100   k g L ⋅ 3 L m i n = 3 y 100   k g m i n

Temos então a seguinte equação diferencial:

d y d t = - 3 y 100

Devemos então resolver a equação para y 0 = 70 , para então encontrar o valor y ( 60 ) .

Passo 2

Vamos primeiro separar as variáveis y e t na equação:

d y y = - 3 100 d t

Agora podemos integrar os dois lados:

∫ d y y = ∫ - 3 100 d t ⇒ ln ⁡ y = - 3 100 t + C

O que nos leva a:

y = e - 3 100 t + C = A e - 3 100 t

sendo A uma constante e A = e C .

Passo 3

Como y 0 = 70 , temos:

y 0 = A e 0 = A = 70 ⇒ y = 70 e - 3 100 t

Passo 4

Nossa equação é então:

y = 70 e - 3 100 t

Queremos o valor de y ( 60 ) :

y 60 = 70 e - 180 100 = 70 e - 1,8 ≈ 11,57   k g

Resposta

11,57 kg.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados