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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 18

Em Biologia, uma equação usada algumas vezes para descrever o crescimento restrito de uma população é a Equação de Gompertz:

d y d t = k y ln ⁡ a y

onde a e k são constantes positivas. Ache a solução geral dessa equação diferencial.

Passo 1

Podemos primeiro separar a equação deixando apenas 1 t d y t do lado esquerdo:

1 y d y d t = k ln ⁡ a y

Agora, fazemos a substituição u = ln ⁡ y , que nos dá que d u = d y y :

1 d t d y y = k ln ⁡ a - ln ⁡ y ⇒ d u d t = k ( ln ⁡ a - u )

Passo 2

Agora temos uma equação diferencial separável mais fácil de resolver. Separamos as variáveis passando ln ⁡ a - u para a esquerda e d t para a direita:

d u ln ⁡ a - u = k d t

Agora podemos integrar os dois lados:

∫ d u ln ⁡ a - u = ∫ k d t ⇒ - ln ⁡ ln ⁡ a - u = k t + C

⇒ ln ⁡ a - u = e - k t - C ⇒ ln ⁡ a - u = e - k t - C ⇒ u = ln ⁡ a - e - k t - C = ln ⁡ a + A e - k t

sendo A uma constante qualquer e A = ± e C .

Passo 3

Agora podemos voltar a representar a variável y :

ln ⁡ y = ln ⁡ a + A e - k t

⇒ y = e ln ⁡ a + A e - k t = e ln ⁡ a e A e - k t

⇒ y = a ⋅ e A e - k t = a ⋅ b e - k t

onde b é uma constante positiva e b = e A .

Resposta

y = a ⋅ b e - k t

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