As margens de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm , e as margens laterais medem 4 cm . Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm² , encontre as dimensões do pôster com a menor área.

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão fala pra gente de um pôster que possui margens de cima e de baixo com 6   c m , e as margens laterais com 4   c m .

Queremos encontrar as dimensões ideias pra a que o pôster tenha a menor área possível, sabendo que a área do material impresso sobre ele está fixa em 384   c m ² .

A ideia para resolver essa questão é encontrar uma expressão que modela a áreas desse pôster e depois otimizar essa área com a ajuda da derivada.

Assim, as dimensões que nos darão a informação de menor área possível são aquelas onde a derivada da área é igual a zero.

Vamos usar essa informação para desenvolver nossa solução. Vem comigo.

Passo 2

O enunciado nos diz que as margens de cima e de baixo de um pôster têm 6   c m , e as margens laterais medem 4   c m .

Assim, podemos fazer um esboço desse pôster da seguinte forma:

Assim, vemos que a área desse pôster pode ser expressa por:

A p = x + 8 y + 12

Além disso, sabemos que a área do material impresso mede 384   c m ² , então escrevemos:

A m = x y = 384

Essa fórmula permite que a gente isole facilmente uma das variáveis, para substituirmos na primeira e fazermos a mínimização, então:

x y = 384   → y = 384 x

Substituindo:

A p = x + 8 384 x + 12

E fazendo as multiplica��ões, ficamos com:

A p = 3072 x + 12 x + 480

Perfeito.

Passo 3

Agora vamos procurar o valor de x que faz essa área ser a menor possível usando sua derivada igual a zero.

Sendo:

A p = 3072 x + 12 x + 480

Sua derivada será dada pela regra do expoente, onde:

A p ' x = - 3072 x ² + 12

E igualando a zero, teremos:

- 3072 x 2 + 12 = 0

Passando o 12 para o outro lado e arrumando os sinais, ficamos com:

3072 x 2 = 12

12 x 2 = 3072

Isolando x 2

x 2 = 256

E extraindo sua raiz positiva, teremos:

x = 16

Maravilha, já temos a dimensão x , vamos agora procurar a dimensão y .

Substituindo em y :

y = 384 x

y = 384 16

E dividindo, teremos:

y = 24

E prontinho.

Então, as dimensões do pôster são:

Base: x + 8 = 16 + 8 = 24

Altura: y + 12 = 24 + 12 = 36

Resposta

Dimensões mínimas do pôster:

Base: 24

Altura: 36

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