Exercícios de Teorema de Stokes - Lista de Exercícios Resolvida

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral numa integral de linha e a calcule, sabendo que , é parametrizada por , com , sendo a normal apontando para cima.

Calcule , onde e é a superfície do elipsoide

Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo ao redor da curva no sentido indicado.

A fronteira do triângulo cortado a partir do plano pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.

Seja a curva orientada parametrizada por:

Seja o campo vetorial:

Calcule:

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva .

onde é a fronteirado triângulo equilátero situado no plano de vértices e

Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças

quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Considere a superfície hemisférica (orientada com vetores normais unitários para cima) e o campo . Seja

Onde é o bordo de , orientado no sentido anti-horário (vista de cima).

1. Usando o Teorema de Stokes, calcule (dica: escolha uma superfície que facilite as contas).
2. Confira o resultado do item anterior calculando diretamente, ou seja, pela definição de integral de linha.

(obs: )

Calcule a integral de superfície , em que

E é a parte do plano dentro do cilindro , com orientação para cima.

Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha , em que

Em que é o limite da parte do plano no primeiro octante.

Sejam uma região sólida simples com fronteira e um campo vetorial de classe tal que é uma região aberta contendo . Mostre que

Isto é, o fluxo do rotacional de através de é zero.

Sejam a curva parametrizada por e um campo vetorial em .

Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de .

Considere o campo vetorial definido por

Determine o valor da constante para qual

ao longo de qualquer curva fechada no plano .

Opção 1: Calcule a integral de linha

onde é a curva parametrizada por e .

Opção 2: Calcule a integral de linha

onde é a curva parametrizada por e .

Considere um vidro cilíndrico quebrado sobre o plano de maneira que sua base se encontra no círculo com a curva de classe por partes e orientada no sentido anti-horário como na Figura . Dado o campo vetorial

Calcule .

Seja

1. Calcule o campo gradiente

2. Seja a parte da esfera que satisfaz , orientada de forma que seja seu vetor normal no ponto . Denote o bordo de orientado positivamente. Esboce a superfície e a curva com as orientações indicadas.

3. Defina o campo vetorial

Onde foi calculado no item . Dada a supefície do item , calcule o fluxo do campo através de .

35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

Em uma integral de linha e calcule:

b) , , e , sendo a normal apontando para cima.

Seja a curva orientada parametrizada por:

Seja o campo vetorial:

Calcule:

Calcule , onde e é a interseção do cilindro com o plano orientada no sentido anti-horário quando vista de cima

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:

a)

Onde é a interseção da esfera com o plano .

22) Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para...

b) , o hemisfério , orientada com normal unitária exterior a .

22) Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para...

a) , o paraboloide , e apontando para fora de .

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:

b)

Onde é a interseção do plano com o cilindro .

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:

c)

Onde é a interseção do cilindro com o cone .

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:

d)

Onde é a fronteira do triângulo situado no plano , de vértices e .

30) Calcule

Onde e é a intersecção da superfície com , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

37) Calcule

Onde e é a curva obtida como interseção da superfície , , com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista do eixo positivo.

35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

Em uma integral de linha e calcule:

c) , e , sendo tal que .

Sejam e superfícies regulares com equações implícitas e , respectivamente, e seja a curva obtida na intersecção de e , orientada de modo que suas projeções no plano é percorrida no sentido anti-horário.

(a) Esboce as curvas obtidas na intersecção de e com o plano

(b) Mostre que a curva está contida num plano e encontre a equação implícita para o plano que a contém.

(c) Mostre que a curva está contida num clilíndro cujo eixo de rotação é paralelo ao eixo e encontre a equação implícita.

(d) Usando o teorema de Stokes, descreva uma superfície apropriada que tenha a curva como fronteira e calcule o trabalho do campo

Use o Teorema de Stokes para calcular

onde e é o femisfério com orientação ascendente.

Seja a parte do paraboloide que se encontra dentro do cilindro , orientado para cima.

a) Esboçar a superfície .

b) Considere o campo vetorial , usando o Teorema de Stokes, calcular

Questão 14) Seja a calota esférica dada pela equação , onde . Sobre fixe a orientação tal que . Calcule

Onde

24) Calcule

Sendo

E a interseção do paraboloide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário se projetada no plano .

38) Calcule

Onde e é a curva obtida como interseção da superfície , com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Considere o campo de vetores Use o Teorema de Stokes para calcular

onde C é a fronteira da parte do paraboloide que está no primeiuro octante e orientada no sentido anti-horário quando o bordo é visto de cima.

Use o teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força

Onde é a superfície orientável, com fronteira orientada positivamente, definida pela parametrização

Com o triângulo de vértices e .

Calcule o fluxo do rotacional do campo através da superfície , com a normal apontando para cima.

Seja a curva dada pela interseção do plano com o cilindro , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma única vez no sentido anti-horário e . O valor da integral de linha é:

a)

b)

c)

d)

e)

Seja a superfície e a interseção desta superfície com o cilindro (com orientação no sentido anti-horário – quando vista de cima). Calcule (através do Teorema de Stokes) a integral

onde

Seja a curva intersecção do cilindro de equação com o paraboloide hiperbólico

(a) Parametrize positivamente

(b) Calcule o rotacional do campo .

(c) Calcule

Questão 2:

Seja a superfície (regular por partes) constituída pela união dos três triângulos contidos nos planos coordenados e de vértices , , , . O bordo de é uma curva (regular por partes) fechada que consideraremos orientada de modo que sua projeção no plano é percorrida no sentido anti-horário. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças espacial

sobre uma partícula cuja trajetória é .

Considere o campo vetorial e seja a porção do cone de equação entre os planos e . Calcule .

a)

b)

c)

d)

e)

Considere o campo

1. Sem usar o Teorema de Stokes, calcule

Onde é fronteira da superfície , percorrida do sentido anti-horário quando vista de cima.

2. Use agora o Teorema de Stokes para checar a resposta do item (b).

Considere o campo vetorial e a superfície descrita pelas relações e , orientada de modo que o vetor normal no ponto esteja apontando para baixo.

1. Esboce a superfície .
2. Determine a curva que forma a fronteira de e oriente-a positivamente.
3. Calcule o fluxo do rotacional de através de .

Use o teorema de Stokes para calcular a integral , em que

E é o hemisfério , , orientada para cima.

Questão 3:

Seja

e a intersecção do cilindro com o paraboloide orientada de forma que sua projeção no plano seja percorrida uma vez no sentido horário. Calcule .

Questão 2) Considere o campo vetorial e a superfície descrita pelas relações e , orientada de modo que o vetor normal no ponto esteja apontando para baixo.

1. Parametrizar positivamente a curva fronteira de .
2. Calcule o fluxo do rotacional de através de .

Questão 3: Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha

Onde é a curva parametrizada por .

Seja uma curva fechada simples suave inteiramente contida no plano . Mostre que a integral de linha

depende unicamente da área da região delimitada por (e não da forma de ou de sua posição no plano).

Questão 2: Use o Teorema de Stokes para calcular

Onde e o hemisfério , , com orientação ascendente.

Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha

Em que e é a curva da intersecção do plano com o cone , orientada no sentido anti-horário quando visto por cima.

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).

Seja , onde e é um vetor constante. Então

Sendo a curva fechada simples que limita uma superfície paramétrica orientada , sendo o vetor unitário normal a conveniente.

Considere a superfície que é a parte da esfera que está dentro do cone com e com os vetores normais apontando para fora. Seja

Use o teorema de Stokes para calcular

Diga se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa. Justifique.

Seja e e sejam e os vetores normais unitários a e , respectivamente. Se e então, qualquer que seja o campo de vetores de classe tem-se que