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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 17

17- Calcule o trabalho realizado pelo campo de força

F x , y , z = x x + z 2 i + y y + x 2 j + z z + y 2 k

Quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima.

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos analisar o que a questão quer.

Ela diz para calcular o trabalho realizado pelo campo de força

F x , y , z = x x + z 2 i + y y + x 2 j + z z + y 2 k

Quando uma partícula se move devido a esse campo ao redor da borda da parte da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Que está no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima.

Certo! O primeiro octante é onde x , y , z são positivos e direção anti-horária é a direção positiva.

Mas como calculamos o trabalho do campo? 😨

O trabalho é calculado pela integral de linha:

W = ∫ C F .   d r

E como ela se move ao redor da borda de uma estrutura espacial fechada então o teorema de Stokes é válido então:

W = ∫ C F .   d r = ∫ ∫ S r o t   F   d S

Sendo que o rotacional se calcula assim:

∇ × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

∇ × F → = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

E como temos uma esfera, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

z = r cos ⁡ ϕ

Então, vamos fazer o seguinte:

Colocar a superfície em coordenadas esféricas; calcular o jacobiano; achar o rotacional do campo vetorial em coordenadas cartesianas e depois mudar para esféricas e finalmente, montar a integral e resolver!

Essa é trabalhosa, hein? 😰

Vamos lá?

Passo 2

Vamos colocar essa superfície em coordenadas esféricas.

Temos a esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 4

De raio r = 2

Colocando a superfície em coordenadas esféricas

x = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

z = 2 cos ⁡ ϕ

Isso nos dará a seguinte equação parametrizada da esfera:

r ϕ , θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ i 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ j + 2 cos ⁡ ϕ k

E para essa esfera estar no primeiro octante os ângulos estarão restritos em:

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ π 2

E

d S = d ϕ d θ

Passo 3

Como mudamos as coordenadas da superfície, devemos fazer o jacobiano da equação parametrizada.

Nós teremos:

Calculando r ϕ :

r ϕ = 2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 2 cos ⁡ ϕ   sin ⁡ θ , - 2 sin ⁡ ϕ

Calculando r θ :

r θ = - 2 sin ⁡ ϕ   sin ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 0

Calculando o produto vetorial:

r ϕ × r θ = i j k 2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ   2 cos ⁡ ϕ   sin ⁡ θ - 2 sin ⁡ ϕ - 2 sin ⁡ ϕ   sin ⁡ θ 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 0

Fazendo o determinante disso temos:

r ϕ × r θ =

4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ j

+ 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ k

Aplicando a propriedade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 em k :

r ϕ × r θ = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ j + ( 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ )   k

Passo 4

Agora só falta o rotacional para que consigamos fazer essa integral.

Temos

F x , y , z = x x + z 2 i + y y + x 2 j + z z + y 2 k

Calculando o rotacional:

r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x x + z 2 y y + x 2 z z + y 2

Fazendo a determinante:

r o t   F = ∂ ∂ y z z + y 2 - ∂ ∂ z y y + x 2 i + ∂ ∂ z x x + z 2 - ∂ ∂ x z z + y 2 j

+ ∂ ∂ x y y + x 2 + ∂ ∂ y x x + z 2 k

Logo:

r o t   F = 2 y   i + 2 z j + 2 x k

Então o rotacional em coordenadas esféricas será:

r o t   F = 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ i + 4 cos ⁡ ϕ j + 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ k

Passo 5

Agora vamos montar a integral!

W = ∫ ∫ S r o t   F   d S

Então a integral do trabalho será:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 4 cos ⁡ ϕ , 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ∙ ( 4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,

4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ )   d ϕ d θ

Fazendo o produto escalar:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ( 16 sin 3 ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ θ + 16 sin ⁡ θ sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ + 16 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ) d θ   d ϕ

Podemos separar essas integrais, deixando tudo com suas respectivas variáveis, pois os limites de integração são constantes, então a ordem de integração não importa.

No primeiro termo, podemos utilizar a propriedade trigonométrica

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

E escrever

cos ⁡ θ sin ⁡ θ = 1 2 sin ⁡ 2   θ

Teremos então:

16 ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 π 2 1 2 sin ⁡ 2   θ   d θ +  

16 ∫ 0 π 2 sin ⁡ θ d θ ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ +

16 ∫ 0 π / 2 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ   d θ  

Fazendo as integrais trigonométricas comuns,

Substituição trigonométrica em si n 3 ⁡ ϕ :

Lembrando que si n 2 ⁡ ϕ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 ϕ , então teremos

sin ⁡ ϕ si n 2 ⁡ ϕ = sin ⁡ ϕ   .     1 2 1 - cos ⁡ 2 ϕ

Substituição u = sin ⁡ ϕ   na integral de sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ;

E depois aplicando o intervalo em todo mundo nós acharemos um trabalho igual a:

W = 16

Resposta

W = 16

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