Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 2
Use o Teorema de Stokes para calcular
é a parte do paraboloide que está acima do plano , orientado para cima.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo bem?
Nossa questão aqui pede pra gente usar o Teorema de Stokes para calcular:
Onde é:
E é a parte do paraboloide
que está acima do plano , orientado para cima.
Pessoal, o Teorema de Stokes é dado por
onde é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva. E para a integral de linha temos que:
Então, precisamos encontrar o vetor através da parametrização da nossa curva . Com esse vetor em mãos, fazemos o produto escalar entre o vetor da função aplicada nos parâmetros de e o vetor resultada de derivada de : .
Daí, é só resolvermos nossa integral dupla normalmente, partindo da integral de dentro pra de fora!
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar identificando nossa curva . Pela descrição do enunciado, nossa superfície é:
paraboloide que está acima do plano
Nosso paraboloide intercepta o plano em . Aplicando isso na equação:
Temos:
Essa é a curva que deve ser orientada no sentido anti-horário quando visto de cima. Parametrizando essa equação, como estamos tratando de uma região circular, podemos usar equações das coordenadas polares:
Como nosso raio é , nossa parametrização será:
Colocando cada variável como componente de um vetor paramétrico, temos:
Passo 3
Agora já podemos procurar os dois termos que vão ser integrados: e
Derivando esse vetor em relação a , temos:
Escrevendo o campo vetorial:
Em função das equações parametrizadas
Temos:
Fazendo as multiplicações:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Stokes, temos:
Substituindo os termos que encontramos:
Fazendo o produto escalar, somamos o produto das coordenadas dos vetores:
Integrando:
Temos:
Aplicando os limites de integração:
Então: