Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t F . d S

F x , y , z = x 2 sen ⁡ z i + y 2 j + x y k

S é a parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 que está acima do plano x y , orientado para cima.

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem?

Nossa questão aqui pede pra gente usar o Teorema de Stokes para calcular:

∬ S r o t F . d S

Onde F é:

F x , y , z = x 2 sen ⁡ z i + y 2 j + x y k

E S é a parte do paraboloide

z = 1 - x 2 - y 2

que está acima do plano x y , orientado para cima.

Pessoal, o Teorema de Stokes é dado por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva. E para a integral de linha temos que:

∫ C F . d r = ∫ C F r t . r ' t d t

Então, precisamos encontrar o vetor r t através da parametrização da nossa curva C . Com esse vetor em mãos, fazemos o produto escalar entre o vetor da função F aplicada nos parâmetros de r ( t ) e o vetor resultada de derivada de r ( t ) : r ' ( t ) .

Daí, é só resolvermos nossa integral dupla normalmente, partindo da integral de dentro pra de fora!

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar identificando nossa curva C . Pela descrição do enunciado, nossa superfície S é:

paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 que está acima do plano x y

Nosso paraboloide intercepta o plano x y em z = 0 . Aplicando isso na equação:

0 = 1 - x 2 - y 2

Temos:

x 2 + y 2 = 1

Essa é a curva C que deve ser orientada no sentido anti-horário quando visto de cima. Parametrizando essa equação, como estamos tratando de uma região circular, podemos usar equações das coordenadas polares:

x = r cos ⁡ t

y = r   s e n   t

Como nosso raio é r = 1 , nossa parametrização será:

x = cos ⁡ t

y =   s e n   t

Colocando cada variável como componente de um vetor paramétrico, temos:

C : r t = cos ⁡ t i + sen ⁡ t j ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Agora já podemos procurar os dois termos que vão ser integrados: F r t e r ' t

Derivando esse vetor em relação a t , temos:

r ' t = - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j

Escrevendo o campo vetorial:

F x , y , z = x 2 sen ⁡ z i + y 2 j + x y k

Em função das equações parametrizadas

x = cos ⁡ t

y =   s e n   t

Temos:

F r t = cos ⁡ t 2 sen ⁡ 0 i + sen ⁡ t 2 j + cos ⁡ t sen ⁡ t k

Fazendo as multiplicações:

F r t = sen 2 ⁡ t j + sen ⁡ t cos ⁡ t k

Passo 4

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r = ∫ 0 2 π F r t . r ' t d t

Substituindo os termos que encontramos:

∫ 0 2 π F r t . r ' t d t = ∫ 0 2 π ( sen 2 ⁡ t j + sen ⁡ t cos ⁡ t k ) ( - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j ) d t

Fazendo o produto escalar, somamos o produto das coordenadas dos vetores:

∫ 0 2 π F r t . r ' t d t = ∫ 0 2 π 0 + sen 2 ⁡ t cos ⁡ t + 0 d t

Integrando:

∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t =

Temos:

= 1 3 sen 3 ⁡ t 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 2 π sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t = 1 3 sen 3 ⁡ t 0 2 π = 0

Então:

∬ S r o t F . d S = 0

Resposta

∬ S r o t F . d S = 0

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