Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ ∫ S r o tF .d S 3- F x , y , z = x 2 e y z i + y 2 e x z j + z 2 e x y k , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,z ≥ 0 , com orientação para cima.

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 3

Use o Teorema de Stokes para calcular

3- ,

S é o hemisfério , com orientação para cima.

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos analisar o que a questão quer.

Ela diz para usar o Teorema de Stokes para calcular

Sendo

E a superfície S é o hemisfério

Que está acima do plano , com orientação para cima.

Ok! Vamos lembrar que o Teorema de Stokes diz o seguinte:

Então, vamos fazer o seguinte:

Calcularemos a integral de linha proveniente do Teorema de Stokes

Na integral de linha, vamos achar a curva , parametrizar e calcular ; depois achar o campo em função da curva e calcular o produto escalar, e finalmente montar a integral e resolver.

Partiu?

Passo 2

Como precisamos de uma curva fechada na integral de linha, vamos usar a superfície fechada formada pelo paraboloide

Com

E o plano , nesse plano o paraboloide forma a seguinte equação:

Que é um círculo de raio igual a e uma parametrização comum do círculo é

Como temos e

A equação parametrizada vale:

E sua derivada em relação a vale:

Onde por ser um círculo fechado vai de

Passo 3

Agora, precisamos colocar o campo vetorial

Nas novas coordenadas, temos então

Simplesmente vamos substituir por

Ficaremos com

Simplificando:

Agora, calculando o produto escalar entre e :

Muito bem! Só falta montar a integral!

Passo 4

A integral de linha que devemos resolver

Vai ficar assim depois de substituir tudo que achamos:

Podemos separar essa soma em duas integrais, pois a integral da soma é igual a soma das integrais:

Na primeira integral vamos aplicar a seguinte substituição:

E na segunda aplicar a substituição:

O que nos dá a integral:

Resolvendo ambas integrais:

Voltando para o domínio , lembrando que e :

Aplicando os limites:

Assim o valor da nossa integral de linha é

Certinho?

Resposta

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