Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 3
Use o Teorema de Stokes para calcular
3- ,
S é o hemisfério , com orientação para cima.
Passo 1
Olá, tudo bem? Vamos analisar o que a questão quer.
Ela diz para usar o Teorema de Stokes para calcular
Sendo
E a superfície S é o hemisfério
Que está acima do plano , com orientação para cima.
Ok! Vamos lembrar que o Teorema de Stokes diz o seguinte:
Então, vamos fazer o seguinte:
Calcularemos a integral de linha proveniente do Teorema de Stokes
Na integral de linha, vamos achar a curva , parametrizar e calcular ; depois achar o campo em função da curva e calcular o produto escalar, e finalmente montar a integral e resolver.
Partiu?
Passo 2
Como precisamos de uma curva fechada na integral de linha, vamos usar a superfície fechada formada pelo paraboloide
Com
E o plano , nesse plano o paraboloide forma a seguinte equação:
Que é um círculo de raio igual a e uma parametrização comum do círculo é
Como temos e
A equação parametrizada vale:
E sua derivada em relação a vale:
E
Onde por ser um círculo fechado vai de
Passo 3
Agora, precisamos colocar o campo vetorial
Nas novas coordenadas, temos então
Simplesmente vamos substituir por
Ficaremos com
Simplificando:
Agora, calculando o produto escalar entre e :
Muito bem! Só falta montar a integral!
Passo 4
A integral de linha que devemos resolver
Vai ficar assim depois de substituir tudo que achamos:
Podemos separar essa soma em duas integrais, pois a integral da soma é igual a soma das integrais:
Na primeira integral vamos aplicar a seguinte substituição:
E na segunda aplicar a substituição:
O que nos dá a integral:
Resolvendo ambas integrais:
Voltando para o domínio , lembrando que e :
Aplicando os limites:
Assim o valor da nossa integral de linha é
Certinho?