Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 29
Um peso atado a uma mola apresenta movimento harmônico simples. Mostre que a aceleração máxima do peso ocorre em um ponto de deslocamento extremo e tem magnitude , em que é a amplitude e , o período das vibrações livres.
Passo 1
Salveee, beleza?
Vamos lá matar esse probleminha
Primeiramente, temos que lembrar a formulazinha que descreve o movimento harmônico simples, lembra? Ela vai ser:
Belezinha, mas essa expressão ta descrevendo o espaço em relação ao tempo . Mas o que queremos é , para aí estudarmos a aceleração máxima
Calma cara, é só a gente lembrar que a aceleração é a segunda derivada do espaço, então vamos derivar duas vezes
A primeira vez:
E agora a segunda vez:
Beleza, essa é a fórmula da aceleração no movimento harmônico simples. Agora vamos usar as super técnicas que vimos lá em cálculo 1 para encontrarmos a expressão da aceleração máxima, fechou?
Passo 2
Temos:
Para encontrarmos a aceleração máxima, temos que encontrar um ponto de máximo em
O primeiro passo é derivar , bora lá:
Agora temos que encontrar os pontos críticos, e pra isso, vamos igualar a derivada a 0:
Como e são constantes não nulas, nosso só vai ser zero quando:
Ta, mas vamos lembrar: o que acontece quando o cosseno vale 0?? O seno vale , não é? É só lembrarmos do círculo trigonométrico
Dessa forma, os pontos críticos candidatos a máximos ocorrem quando
Passo 3
Substituindo em , temos que a aceleração máxima ocorre em:
Vamos arrumar esse aí. Sabemos que , então, substituindo:
Então:
Ta provadinho :)