Verifique a aproximação linear em (0, 0) .

e^x * cos(xy) ≈ x + 1

Passo 1

Show de bola, galera. Questãozinha de aproximação linear, vamos lá!

A questão nos dá a função e x cos ⁡ x y e pergunta se a aproximação linear x + 1 é válida.

Mas o que é a aproximação linear? É uma aproximação da função que serve para valores de x ,   y próximos de um ponto! Nesse caso a questão disse que é o ponto a , b = ( 0 ,   0 ) .

E como encontramos essa aproximação linear? Simples! Com a seguinte equação geral!

L ( x , y ) = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

Onde para pontos próximos de a ,   b podemos considerar

L ( x , y ) ≈ f x , y

Resumo da ópera: Vamos encontrar L ( x , y ) para a função e x cos ⁡ x y e o ponto 0 ,   0 ) e depois verificar se

L x , y = x + 1

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar dando nome aos bois para simplificar a nossa vida, ok? Seja

f x ,   y = e x cos ⁡ x y

Assim, para escrevermos L ( x , y ) nos falta encontrar f a ,   b e as derivadas parciais f x a ,   b e f y a ,   b !

O valor de f a ,   b para a , b = ( 0 ,   0 ) é

f 0 ,   0 = e 0 cos ⁡ 0 = 1

Show, agora para encontrarmos f x nós derivamos f em x enquanto consideramos y como constante!

De forma que

f x = e x cos ⁡ x y

∂ f ∂ x = d d x e x cos ⁡ x y

Utilizando a regra do produto, encontramos

∂ f ∂ x = d   e x d x ⋅ cos ⁡ x y + e x ⋅ d   cos ⁡ x y d x

f x = e x . cos ⁡ x y - e x ⋅ y ⋅ s e n ( x y )

E agora substituindo o ponto temos

f x 0 ,   0 = e 0 ⋅ cos ⁡ 0 - 0

f x 0 ,   0 = 1

Da mesma forma para encontrarmos f y nós derivamos f em y enquanto consideramos x como constante!

De forma que

f y = e x cos ⁡ x y

∂ f ∂ y = d d y e x cos ⁡ x y

f y = - e x ⋅ x ⋅ s e n ( x y )

E agora substituindo o ponto temos

f y 0 ,   0 = 0

Passo 3

Agora que temos todos os valores podemos jogar tudo na formula da aproximação linear!

L x , y = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

L x , y = 1 + 1 x - 0 + 0 y - 0

L x , y = x + 1

Ou seja, a aproximação proposta no enunciado é válida!

Resposta

A aproximação e x cos ⁡ x y ≈ x + 1 é válida.

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