Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 17

Verifique a aproximação linear em ( 0 ,   0 ) .

e x cos ⁡ x y ≈ x + 1

Passo 1

Show de bola, galera. Questãozinha de aproximação linear, vamos lá!

A questão nos dá a função e x cos ⁡ x y e pergunta se a aproximação linear x + 1 é válida.

Mas o que é a aproximação linear? É uma aproximação da função que serve para valores de x ,   y próximos de um ponto! Nesse caso a questão disse que é o ponto a , b = ( 0 ,   0 ) .

E como encontramos essa aproximação linear? Simples! Com a seguinte equação geral!

L ( x , y ) = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

Onde para pontos próximos de a ,   b podemos considerar

L ( x , y ) ≈ f x , y

Resumo da ópera: Vamos encontrar L ( x , y ) para a função e x cos ⁡ x y e o ponto 0 ,   0 ) e depois verificar se

L x , y = x + 1

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar dando nome aos bois para simplificar a nossa vida, ok? Seja

f x ,   y = e x cos ⁡ x y

Assim, para escrevermos L ( x , y ) nos falta encontrar f a ,   b e as derivadas parciais f x a ,   b e f y a ,   b !

O valor de f a ,   b para a , b = ( 0 ,   0 ) é

f 0 ,   0 = e 0 cos ⁡ 0 = 1

Show, agora para encontrarmos f x nós derivamos f em x enquanto consideramos y como constante!

De forma que

f x = e x cos ⁡ x y

∂ f ∂ x = d d x e x cos ⁡ x y

Utilizando a regra do produto, encontramos

∂ f ∂ x = d   e x d x ⋅ cos ⁡ x y + e x ⋅ d   cos ⁡ x y d x

f x = e x . cos ⁡ x y - e x ⋅ y ⋅ s e n ( x y )

E agora substituindo o ponto temos

f x 0 ,   0 = e 0 ⋅ cos ⁡ 0 - 0

f x 0 ,   0 = 1

Da mesma forma para encontrarmos f y nós derivamos f em y enquanto consideramos x como constante!

De forma que

f y = e x cos ⁡ x y

∂ f ∂ y = d d y e x cos ⁡ x y

f y = - e x ⋅ x ⋅ s e n ( x y )

E agora substituindo o ponto temos

f y 0 ,   0 = 0

Passo 3

Agora que temos todos os valores podemos jogar tudo na formula da aproximação linear!

L x , y = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

L x , y = 1 + 1 x - 0 + 0 y - 0

L x , y = x + 1

Ou seja, a aproximação proposta no enunciado é válida!

Resposta

A aproximação e x cos ⁡ x y ≈ x + 1 é válida.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Como você lineariza uma função ƒ(x, y) de duas variáveisindependentes em um ponto (x0, y0)? Por que você desejariafazer isso? Como você lineariza uma função de três variáveisindependentes?
Nos Exercícios 25-30, encontre a linearização L(x, y) da função em cada ponto. f x , y = e 2 y - x a ( 0 , 0 ) b 1 , 2
Encontre as linearizações L(x, y, z) das funções nos Exercícios 39-44 nos pontos determinados. f x , y , z = x y + y z + x z a( 1,1 , 1 )
Nos Exercícios 33-38, encontre a linearização L(x, y) da função ƒ(x, y) em P0. Em seguida, encontre um limitante superior para a magnitude |E| do erro na aproximação ƒ(x, y) ≈ L(x, y) sobre o retângul
Encontre as linearizações L(x, y, z) das funções nos Exercícios 39-44 nos pontos determinados. f x , y , z = e x + c o s c o s( y + z ) a ) ( 0,0 , 0 ) b )0 , π 2 , 0 c ) 0 , π 4 , π 4