Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 15
O método dos multiplicadores de Lagrange assume que os valores extremos existem, mas esse nem sempre é o caso. Mostre que o problema de encontrar o valor mínimo de sujeito a restrição pode ser resolvido usando os multiplicadores de Lagrange, mas que não tem um valor máximo nessa restrição.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!
A questão nos pede para usar o método de Lagrange na função e na restrição para provar que, embora vamos encontrar resultados com esse método, nós não vamos conseguir definir um valor máximo para !
Dessa forma, vamos fazer o processo padrão do método dos multiplicadores de Lagrange!
Mas como fazemos isso?
O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função sujeita à restrição nós podemos usar a seguinte fórmula
Onde é o nosso multiplicador de Lagrange!
Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de e que satisfaçam essa expressão! Nesse caso, a questão disse que o ponto que vamos encontrar será o de mínimo!
Passo 2
A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é
Onde e
Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como
Calculando essas derivadas parciais, encontramos
De forma que ficamos com o seguinte
Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações
E além disso, considerando a restrição também temos
Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter os pontos de interesse e avaliar quem são o máximo e o mínimo da função!
Passo 3
Temos o seguinte sistema
Da primeira e segunda expressões nós percebemos que se uma variável for nula, a outra também será!
Mas se temos chegamos numa desigualdade quando olhamos a terceira expressão! Dessa forma
Assim, podemos reescrever a primeira e segunda expressões como
E se igualarmos essas expressões obtemos
Dessa forma, para , na equação da restrição teremos
De forma que temos os pontos
E ainda, testando o valor de nesse ponto temos
Mas para , na equação da restrição teríamos
E não existe valor real que torne essa expressão verdadeira
Passo 4
Nós obtemos anteriormente o valor da função nos pontos que encontramos
Vamos verificar se esse ponto é máximo ou mínimo com o teste da derivada segunda! A fórmula é a seguinte
Onde se
então é um mínimo local.
então é um máximo local.
então não é nem mínimo e nem máximo local.
Dessa forma, definindo as derivadas temos
Dessa forma
Para qualquer valor!
Além disso
Então, como temos que os pontos em questão são pontos de mínimo. E o valor mínimo da função nessa restrição é 2. Logo não possui valor máximo definido pela expressão com os multiplicadores de Lagrange!
Resposta
A função tem mínimos em mas não tem máximos identificáveis usando os multiplicadores de Lagrange.