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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 34

17-40 Encontre os limites.

34. underset(x -> 0)(lim) (x)/(c o s ( (1)/(2) pi - x ))

Passo 1

Vamos começar tentando reescrever o denominador. Sabemos que

cos (a - b) = cos (a) cos (b) + s e n (a) s e n ( b )

Agora, é só aplicar a fórmula no denominador da nossa função racional. Assim, teremos

cos ((1)/(2) pi - x) = cos ((pi)/(2)) c o s x + s e n ((pi)/(2)) s e n x = s e n x

Passo 2

underset(x -> 0)(lim) (x)/(c o s ( (1)/(2) pi - x )) = underset(x -> 0)(lim) (x)/(s e n x)

Olhando para isso eu lembro logo daquele teorema que diz que underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x) . Mas o nosso denominador e numerador estão invertidos e agora ???? É só a gente reescrever a nossa fração da seguinte maneira:

(x)/(s e n x) = (1)/((s e n x)/(x))

Perceba que nós não alteramos o valor dela.

Dessa forma, temos que

underset(x -> 0)(lim) (x)/(s e n x) = underset(x -> 0)(lim) (1)/((s e n x)/(x))

(underset(x -> 0)(lim) 1)/(underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x)) = (1)/(1) = 1

Resposta

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