17-40 Encontre os limites

39- lim x → 0 ⁡ 2 - c o s 3 x - c o s 4 x x            

Passo 1

Gente, a primeira coisa que nos temos que lembrar aqui é que:

- cos ⁡ 4 x = - ( cos 2 ⁡ 2 x - s e n 2 2 x )

Além disso, temos que:

s e n 2 2 x + cos 2 ⁡ 2 x = 1

Fazendo um sistema com essas duas equações:

- cos 2 ⁡ 2 x + s e n 2 2 x = - cos ⁡ 4 x s e n 2 2 x + cos 2 ⁡ 2 x = 1  

Somando as duas equações, temos:

2 s e n 2 2 x = 1 - c o s 4 x

2 s e n 2 2 x - 1 = - c o s 4 x

Passo 2

Reescrevendo o limite:

lim x → 0 ⁡ 2 - c o s 3 x + 2 s e n 2 2 x - 1 x =   lim x → 0 ⁡ 1 - c o s 3 x + 2 s e n 2 2 x x  

Agora, vamos separar os limites:

lim x → 0 ⁡ 2 s e n 2 2 x x +     lim x → 0 ⁡ 1 - c o s 3 x x  

Passo 3

Resolvendo o primeiro limite, temos:

lim x → 0 ⁡ 2 s e n 2 2 x x = 2 lim x → 0 ⁡ s e n 2 x x × lim x → 0 ⁡ s e n x

Agora, vamos multiplicar e dividir por 2 o limite da esquerda para podermos usar o limite trigonométrico fundamental:

4 lim x → 0 ⁡ s e n 2 x 2 x × 0

4 × 1 × 0 = 0

Gente, estamos quase acabando, falta só um limite

lim x → 0 ⁡ 1 - c o s 3 x x  

Pra resolver isso vamos usar o seguinte teorema:

lim x → 0 ⁡ 1 - c o s x x = 0  

Mas antes, vamos multiplicar e dividir a nossa fração por 3:

3  lim x → 0 ⁡ 1 - c o s 3 x 3 x   = 3 × 0 = 0

Somando os dois limites:

lim x → 0 ⁡ 2 - c o s 3 x - c o s 4 x x = 0

Ufaaa, acabou !!!

Resposta

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