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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 39

17-40 Encontre os limites

39- underset(x -> 0)(lim) (2 - c o s 3 x - c o s 4 x)/(x)

Passo 1

Gente, a primeira coisa que nos temos que lembrar aqui é que:

- cos 4 x = - ( cos^2 2 x - s e n^2 2 x )

Além disso, temos que:

s e n^2 2 x + cos^2 2 x = 1

Fazendo um sistema com essas duas equações:

{[[- cos^2 2 x + s e n^2 2 x = - cos 4 x],[s e n^2 2 x + cos^2 2 x = 1]])

Somando as duas equações, temos:

2 s e n^2 2 x = 1 - c o s 4 x

2 s e n^2 2 x - 1 = - c o s 4 x

Passo 2

Reescrevendo o limite:

underset(x -> 0)(lim) (2 - c o s 3 x + 2 s e n^2 2 x - 1)/(x) = underset(x -> 0)(lim) (1 - c o s 3 x + 2 s e n^2 2 x)/(x)

Agora, vamos separar os limites:

underset(x -> 0)(lim) (2 s e n^2 2 x)/(x) + underset(x -> 0)(lim) (1 - c o s 3 x)/(x)

Passo 3

Resolvendo o primeiro limite, temos:

underset(x -> 0)(lim) (2 s e n^2 2 x)/(x) = 2 underset(x -> 0)(lim) (s e n 2 x)/(x) xx underset(x -> 0)(lim) s e n x

Agora, vamos multiplicar e dividir por 2 o limite da esquerda para podermos usar o limite trigonométrico fundamental:

underset(x -> 0)(4 lim) (s e n 2 x)/(2 x) xx 0

4 xx 1 xx 0 = 0

Gente, estamos quase acabando, falta só um limite

underset(x -> 0)(lim) (1 - c o s 3 x)/(x)

Pra resolver isso vamos usar o seguinte teorema:

underset(x -> 0)(lim) (1 - c o s x)/(x) = 0

Mas antes, vamos multiplicar e dividir a nossa fração por 3:

underset(x -> 0)(3 lim) (1 - c o s 3 x)/(3 x) = 3 xx 0 = 0

Somando os dois limites:

underset(x -> 0)(lim) (2 - c o s 3 x - c o s 4 x)/(x) = 0

Ufaaa, acabou !!!

Resposta

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