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Exercícios de Continuidade - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua:

f x = sen ⁡ 1 x - x + x ,       x < 0 cos ⁡ x - A ,       x ≥ 0

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Questão 2

Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f t = 1 - t 1 - t 3                       s e     t ≠ 1 3 / 2                                       s e   t = 1

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Questão 3

Considere

f x = a 2 sen ⁡ 4 x x   s e x < 0 b s e x = 0 b 2 + 1 - cos ⁡ x x sen ⁡ 1 x s e x > 0

Determine os pares ordenados a , b de forma que essa função seja contínua em x = 0 .

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Questão 4

Calcule o valor das constantes a e b para que a função abaixo seja contínua em x = 0 .

f ( x ) = 1 x + 2 ,       s e   x < 0 a ,       s e   x = 0 sen ⁡ ( b x ) x ,       s e   x > 0

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Questão 5

Determine as constantes A e B para que a função abaixo seja contínua em x 0 = 2 .

f x = x 3 - x 2 + x - 1 ,     x > 2 A ,     x = 2 B - x 2 ,     x < 2

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Questão 6

Sabe-se que f é contínua em 2 e que f ( 2 ) = 8 . Mostre que existe δ > 0 tal que para todo x ∈ D f

2 - δ < x < 2 + δ → f ( x ) > 7 .

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Questão 7

Seja f uma função definida em ℝ e suponha que existe M > 0 tal que | f ( x ) - f ( p ) | ≤ M | x - p | para todo x . Prove que f é contínua em p .

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Questão 8

Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

  1. Determine o lim x → a ⁡ f x para a = 0,1 , 2,3 , 4 se existir
  2. Em que ponto f não é contínua

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Questão 9

Considere f definida por:

f x = x 2 - 9 x + 3 s e   x > - 3 4 s e   x = - 3 x 2 + a s e   x < - 3

  1. Determine a tal que lim x → - 3 - ⁡ f x = f - 3
  2. Para o valor de a calculado no item anterior, f é contínua em x = - 3 ?
  3. Calcule lim n → ∞ ⁡ f - 3 + 1 n , se existir

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Questão 10

11 – Considere a função

f x = x + 1 ,     s e   x ≤ 0 c x ,     s e   x > 0

a) Existe uma constante c para qual a constante seja contínua em x = 0 ? Justifique sua resposta.

b) se existir uma constante c tal que f x seja contínua em x = 0 , esboce o gráfico de f x .

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Questão 11

Verifique se a função dada é contínua no ponto x = 1 .

f x = x - 1 x - 1       x ≠ 1 2                                   x = 1

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Questão 12

1) Sejam a e b números reais tais que a função

f x = sin ⁡ ( 24 x ) x ,   s e   x < 0 x 2 + a x + b ,   s e 0 ≤ x ≤ 6 18 ,   s e   x > 6

É continua em toda parte. O valor de f ( 1 ) é

Escolha uma:

a) 18

b) 22

c) 16

d) 20

e) 14

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Questão 13

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x ≥ 1 2 x ,                     s e   x < 1

( a ) A função é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta.

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Questão 14

  1. Explique o que significa dizer que uma função f é contínua no ponto x = a .

.

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Questão 15

Considere a função f ( x , y ) dada pela expressão

f x , y = { - 3 x y 2 - x 3 x 2 + y 2 ,     x , y ≠ ( 0,0 )   1 ,     x , y = ( 0,0 )  

  1. Se ( x 0 , y 0 ) ≠ ( 0,0 ) , explique se f é ou não contínua em x 0 , y 0 ). Em seguida, calcule

    2. f ( x , y )  

  2. Explique se f é ou não contínua em 0,0 .

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Questão 16

Questão 2 - Seja f : R → R , definida por

f x = s e n a x 5 x - 1 , s e   x < 0 x 2 - 4 x + 3 x - 1 , s e   0 ≤ x < 1 b , s e   x = 1 x c x - 1 s e   x > 1

Determine o valor das constantes reais a , b e c que tornam f contínua em todo R .

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Questão 17

Seja f x = x 2 - 3 x 3 sen ⁡ 1 x - 3 3 + arctg ⁡ x ,     s e   x ≠ 3 1 ,                                                         s e   x = 3

a ) Determine todos os pontos em que f não é contínua. Justifique.

b ) Determine todos os pontos em que f não é derivável. Justifique.

c ) Calcule a derivada de f nos pontos em que f é derivável.

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Questão 18

4) Determine os valores das constantes A e B , de tal forma que a função f definida por:

f x = 3 x , s e x ≤ 2 A x + B , s e 2 < x < 5 - 6 x , s e x ≥ 5

Seja continua no intervalo - ∞ , ∞ .

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Questão 19

Verifique se a função dada é contínua no ponto x = 1 .

f x = x - 1 x - 1   p a r a   x ≠ 1 2   p a r a   x = 1

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Questão 20

Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

f x = 1 2 x - 1 x ,     - 2 ≤ x ≤ 2

Onde x   é a função maior inteiro que não supera x . Nos pontos x = 0 e x = 1

Sugestão: Esboce o gráfico de f

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Questão 21

Seja f definida por

f x = x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 s e x ≠ - 3 , x ≠ - 1 0 s e x = - 3 - 1 2 s e x = - 1

a) A função f está definida em R ? Justifique

b) Dê os pontos onde f é contínua. Justifique

c) Dê os pontos f é descontínua. Justifique

d) A função f é contínua em R ? Justifique

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Questão 22

Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

c) g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           s e   x , y = ( 0,0 )

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Questão 23

Resolva os itens abaixo justificando detalhadamente suas soluções.

( a ) A função definida por f x = x 2 - 1 x - 1 para x ≠ 1 e f 1 = 2 é contínua em x = 1 ?

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Questão 24

Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

a) f x , y =   - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4 ,             s e   x , y ≠ ( 0 , - 1 ) 0 ,                                         s e   x , y = 0 , - 1

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Questão 25

Considere as afirmativas abaixo:

  1. Se h é descontínua no ponto x = c , então o limite lateral em lim x → c + ⁡ h ( x ) não existe.
  2. Se lim x → 1 ⁡ ( g x + f ( x ) ) existe, então lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe.

É verdadeira ou são verdadeiras:

  1. Nenhuma das afirmativas.
  2. Somente a afirmativa (II).
  3. Somente a afirmativa (I).
  4. As afirmativas (I) e (II).

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Questão 26

(b) Ache os pontos dos parâmetros A e B para que a função seja continua em x = 1   , onde f é definida por

f x =   x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 + A ,       s e   x > 1 2                                                         ,         s e   x = 1 x 2 - B + 1 x + B x - 1 ,     s e   x < 1

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Questão 27

Para que a função f : R → R seja contínua em R , o valor de m n deve ser:

f x = 3 x 2 - 7 x + 2 ,   s e   x > 1 m x + n ,   s e - 1 ≤ x ≤ 1 s e n π x 2 ,   s e   x < - 1

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Questão 28

Para que a função

f x = x 2 + 2 x - 3 x - 1 ,                     s e   x < 1 x + k ,                                                     s e   x ≥ 1

Seja contínua em R o valor da constante k deve ser

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Questão 29

Seja

f x , y = y 3 x 2 + y 2 ,               x ,   y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                                         x , y = ( 0,0 )

  1. Determine se f é contínua no ponto ( 0,0 ).
  2. Determine se f é diferenciável no ponto (0,0).

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Questão 30

  1. Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Determine os pontos de continuidade e descontinuidade de f .

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Questão 31

  1. Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é contínua em seu domínio.
  1. f x = arcsin ⁡ x 2 - 1
  2. f x = 6 + sin ⁡ ( x + sin ⁡ x ) x 2

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Questão 32

Determine se as seguintes funções são contínuas em D ( f ) :

  1. f x = x 2 - 9 x - 3  

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Questão 33

Determine se as seguintes funções são contínuas em D ( f ) :

b )   g x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x ≠ 3 3 ,     s e   x = 3  

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Questão 34

Defina a função f : R ⟶ R por

f x =   3 a x + x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2   s e   x < 2 , 12 π                                                                                                 s e   x = 2 , b s e n π x 2 - 4 π x - 2                                             s e   x > 2 .

Sabendo que f é contínua em x = 2 é correto afirmar que o valor do produto a ⋅ b é:

  1. 12 π
  2. 8 π
  3. 6 π
  4. 2 π
  5. π
  6. 4 π
  7. 3 π
  8. 0

Não é necessário justificativa.

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Questão 35

Discuta a continuidade de f :

d) f x ,   y = x y x + y     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

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Questão 36

Discuta a continuidade de f :

a) f x ,   y = x y x 2 + y 2     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

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Questão 37

Discuta a continuidade de f :

b) f x ,   y = x 2 y x 4 + y 2     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

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Questão 38

Discuta a continuidade de f :

c) f x ,   y = x + y x 2 + y 2     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

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Questão 39

Determine a região de continuidade de f e trace o esboço, mostrando com uma região sombreada em R 2 a região de continuidade de f :

c) f x ,   y = x y 16 - x 2 - y 2

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Questão 40

Determine a região de continuidade de f e trace o esboço, mostrando com uma região sombreada em R 2 a região de continuidade de f :

d) f x ,   y = x 4 x 2 - 9 y 2 - 36

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Questão 41

Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

b) f x ,   y = x + y sin ⁡ x y

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Questão 42

Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

c) f x ,   y = x 2 y 2 x 2 + y 2

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Questão 43

Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

d) f x ,   y = x 3 y 2 x 6 + y 4

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Questão 44

Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

a) f x ,   y = x y x + y

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Questão 45

Dada a função f definida por

Estude a continuidade de f em x = 1 . Defina f em x = 0 de modo a tornar f contínua neste ponto.

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Questão 46

Considere a função

f x = x e x 3 ,             x ≥ 1 a x 2 ,                 x < 1

Encontre o valor de a para que f seja contínua em x = 1 .

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Questão 47

( b ) Verifique se a função

f x = x 2 - 2 x + 1 x 2 - 3 x + 2 + 2 x - 1 cos ⁡ x - 1 ,                       s e   x ≠ 1 1 ,                                                                                                                                                         s e   x = 1

É contínua em x = 1 . Justifique.

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Questão 48

4. Considere a função f dada por

f x = e x 2 + 1 sin ⁡ π x - ln ⁡ x 2 + e cos ⁡ π x

  1. Mostre que f é continua para todo x real.
  2. Mostre que f tem pelo menos uma raiz real.

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Questão 49

Calcule os seguintes limites (não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):

c lim x → 0 ⁡ f x , onde

f x = sen ⁡ x x + sen ⁡ x ,       s e   x ≠ 0 0 ,       s e   x = 0

A função f é contínua em x = 0 ? (Justifique!)

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Questão 50

Mostre que existe um número real que é igual a soma de seu cubo e de seu quadrado menos cinco.

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Questão 51

4. Use a continuidade das funções do exercício anterior para calcular os limites abaixo:

  1. lim x → 1 ⁡ x 2 - 3 x + 4 e x
  2. lim x → 0 - ⁡ 2 sin ⁡ x - x 2 - 9 x - 3 ⁡

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Questão 52

2. Use a continuidade das funções do exercício anterior para calcular os limites abaixo:

  1. lim x → 1 2 ⁡ arcsin ⁡ ( x 2 - 1 )
  2. lim x → π ⁡ 6 + sin ⁡ ( x + sin ⁡ x ) x 2 ⁡

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Questão 53

Verifique se a função f abaixo é contínua no ponto a indicado

x 2 - 8 ,   s e   x < 3

s i n ( x - 3 ) x - 3   s e   x > 3

1   s e   x = 3

onde a = 3

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Questão 54

Verifique se a função f abaixo é contínua no ponto a indicado

x - x 2 ,   s e   x < - 2

x 3 + 2   s e   x > - 2

3   s e   x = - 2

onde a = 3

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Questão 55

Determine o valor de L para que as funções abaixo sejam contínuas.

c )   f x = x - 5 x + 5 - 10 , s e     x ≠ 5 L , s e       x = 5

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Questão 56

Verifique se a função abaixo é contínua no ponto a indicado

x + 3 ,   s e   x ≤ 1

4   s e   x > 1

onde a = 1

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Questão 57

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua para qualquer x .

a )   f x = x 2 - 1 ,   s e     x < 3 2 a x   , s e       x ≥ 3

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Questão 58

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua para qualquer x .

e )   f x = a x + 2 b ,   s e     x ≤ 0 x 2 + 3 a - b   , s e       0 < x ≤ 2 3 x - 5 ,   s e   x > 2

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Questão 59

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua para qualquer x .

c )   f x = a 2 x - 2 a ,   s e     x ≥ 2 12   , s e       x < 2

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Questão 60

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua para qualquer x .

d )   f x = - 2 ,   s e     x ≤ - 1 a x - b   , s e       - 1 < x < 1 3 ,   s e   x ≥ 1

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Questão 61

Considere a função

f x = x ²   -   3 x   +   2 x - 1

Mostre que lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe. A função   f   é contínua em x   =   1 ?

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Questão 62

  1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam continuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.

f x = x 2 - 4 x - 2 ,   s e   x < 2 a x 2 - b x + 3 ,   s e   2 ≤ x < 3 2 x - a + b ,   s e   x ≥ 3

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Questão 63

  1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam contínuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.
  1. f x = a x 2 + 2 x ,   s e   x < 2 x 3 - a x ,   s e   x ≥ 2

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Questão 64

Verifique se a função dada é contínua no ponto x = 1 .

f x = x - 1 x - 1       x ≠ 1 2                                   x = 1

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Questão 65

Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados.

f x = x 2 + 1 x 6 + x 2 + 2

Em qualquer x ∈ R .

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Questão 66

Verifique se existe a   ϵ   R tal que

f x = 1 + a x ,         x ≤ 0 x 4 + 2 a ,       x > 0

seja contínua em R

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Questão 67

Questão 3: Seja f : R → R dada por

f x = - 6 x - 3 x - 2                 ,         s e       x ≥ 1   4 x - 1                           ,         s e       x < 1                

  1. A função é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta.

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Questão 68

Questão 1:

  1. Calcule o seguinte limite:

    2. lim x → 0 ⁡ x 2 + 9 - x + 9 5 x

  2. Seja a um número diferente de z e r o . Calcule o seguinte limite:

    3. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x a x

  3. Determine valores de a , b de modo a que a função f seja contínua em x = 0 , onde

f x = x 2 + 9 - x + 9 5 x             s e           x > 0 sen ⁡ 3 x a x                                                   s e           x < 0 b                                                                             s e           x = 0

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Questão 69

Questão 2:

Para quais valores de c a função abaixo é contínua em - ∞ ,   ∞ ?

f x = c 2 x 2 + 2 x                       s e                       x < 2 x 3 - c x                                 s e                       x ≥ 2

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Questão 70

Determine o valor de L para que as funções abaixo sejam contínuas.

b )   f x = x - 3 x - 3 , s e     x ≠ 3 L , s e       x = 3

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Questão 71

Considere a seguinte função f : I R - I R dada por:

f x = x 2 - 3 x + 2 b x 2 - 1 ,     x < 1 sin ⁡ x 2 - 1 x - 1 ,     x > 1 c ,     x = 1

Os valores reais de b ≠ 0 e c que tornam f contínua são:

  1. b = - 1 4 e c = 2
  2. b = - 1 2 e c = 2
  3. b = - 1 3 e c = 2
  4. b = - 1 2 e c = 1
  5. b = - 1 4 e c = 1

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Questão 72

Considere a função f : - π , π → I R definida por

f x = 1 - cos ⁡ x s i n ²   x   ,     s e   x ≠ 0 β ,     s e   x = 0

O valor de β para que f seja contínua em x = 0 é:

  1. 2
  2. 1 2
  3. 2 3
  4. 1 4

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Questão 73

Q01II) Considere a função abaixo

f x = - a x + 3 ,     s e   0 < x ≤ 2 x - b ,     s e   2 < x ≤ 3 2 ,     s e   3 < x ≤ 4

Encontre valores de a e b de modo que f seja uma função contínua.

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Questão 74

2) Considere a função f definida como:

f x = 3 x - 1 - 3 x + 1 x ,     p a r a   x > 0 a ,     p a r a   x = 0 sin ⁡ a x x ,     p a r a   x < 0

Determine o valor de a para que tenhamos f contínua em I R

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Questão 75

Considere a função f : I R → I R definida por:

f x = a ,     s e   x = 0 sin ⁡ x x - 2 3 x ,     s e   x ≠ 0

(a) Determine o valor de a ∈ I R para que f seja contínua em x = 0

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Questão 76

Seja f : I R → I R uma função e suponha que para todo x ≠ 0 tenhamos

cos ⁡ x - 1 ≤ f x ≤ x 4 + x 2                     1

(a) Calcule o limite lim x → 0 ⁡ f x

(b) Mostre que se f for contínua então f 0 = 0

(c) Dê um exemplo de uma função contínua satisfazendo 1

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Questão 77

Determine a região de continuidade de f e trace o esboço, mostrando com uma região sombreada em R 2 a região de continuidade de f :

a) f x ,   y = y x 2 - y 2 - 4

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Questão 78

Determine a região de continuidade de f e trace o esboço, mostrando com uma região sombreada em R 2 a região de continuidade de f :

b) f x ,   y = x 2 + y 2 9 - x 2 - y 2

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Questão 79

14) Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

f x = 1 2 x - 1 [ x ] para - 2 ≤ x ≤ 2 , onde [ x ] = maior inteiro que não supera x . Pontos x = 0 e x = 1.(Sugestão: esboce o gráfico de f )

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Questão 80

13) Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

f x = x 2 + 1   x 6 + x 2 + 2 em qualquer x ∈ R

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Questão 81

Seja a um número real não nulo tal que a função f definida por

f x = x 2 + 6 a x + a 2 ,       s e   x ≤ 5 11 x + 34 a - 30 ,       s e   x > 5

É contínua em todo domínio. O valor de f ( - 1 ) é

Escolha uma:

a ) - 5

b ) - 9

c ) - 7

d ) - 13

e ) - 17

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Questão 82

Sejam a e b tal que a função

f x = - 9 ,       s e   x ≤ - 15 ,                                 a x + b ,         s e - 15 < x ≤ 0 6 - x 2 ,       s e   x > 0                                

É contínua em todo ponto. O valor de 3 f ( - 5 ) é

Escolha uma:

a )   3

b )   51

c ) - 7

d )   21

e )   39

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Questão 83

Encontre os valores de a e b que tornam f continua em toda parte.

f x =   { x 2 - 4 x - 2 ,     s e   x < 2                                 a x 2 - b x + 3 ,       s e   2 < x < 3   2 x - a + b ,       s e   x ≥ 3                            

Calcule 2 a + b

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Questão 84

Considere a função

f x = a x + b ,   x < 1 x 2 + 1 , x ≥ 1

  1. Calcule o limite lim h → 0 + ⁡ f 1 + h - f 1 h
  2. Determine as constantes a e b para que f seja derivável em x = 1

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Questão 85

Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

d) h x , y =   x y 2 x 2 + y 4 ,               s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                             s e   x , y = ( 0,0 )

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Questão 86

Considere uma função contínua f : [ 0,1 ] ⟶ R tal que 0 < f ( x ) < 1 para todo 0 ≤ x ≤ 1 .

  1. Defina g : [ 0,1 ] ⟶ R por g x = f x - x . Mostre que g é contínua.
  2. Use a função g para mostrar que existe um ponto c   ϵ   0,1 tal que f c = c .

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Questão 87

  1. Determine, caso possível, as constantes a ,   b ∈ R tais que f ( x ) seja contínua em x = 0 .

    2. f x = x + a 2 - 4 a - arctan ⁡ 11 x ,       x < 0 a - 1 ,                                         x = 0 sin ⁡ b x ln ⁡ 1 + 100 x ,       x > 0

  2. Encontre a equação da reta normal à curva y = 2 x - 3 e paralela à reta 9 x + 3 y - 5 = 0

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Questão 88

Um atacadista deseja cobrar R $ 2,00 por cada metro de tecido até 10 metros e R $ 1,50 por cada metro a partir de 10 metros. Para tanto, ele estipulou o preço P ( x ) de x metros por

P x = 2 x ,       0 ≤ x ≤ 10 1,5 x ,       10 < x

  1. Quanto se paga por 9 e por 12 metros? Explique por que a função acima não reflete o desejo do atacadista.
  2. Alterando a segunda linha para P x = 1,5 x + A , 10 < x , use a definição de continuidade para determinar a constante A de modo que a função satisfaça o desejo do atacadista. Quais os preços de 9 e 12 metros, usando a função modificada?

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Questão 89

Verifique se a função f abaixo é contínua no ponto a indicado

1 - x 2 ,   s e   x < 2

x - 5   s e   x > 2

0   s e   x = 2

onde a = 2

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Questão 90

Verifique se a função f abaixo é contínua no ponto a indicado

s i n ( x ) x ,   s e   x < 0

t g ( x ) x   s e   x > 0

1   s e   x = 0

onde a = 0

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Questão 91

Qual deve ser o valor de L para que função f abaixo seja contínua?

x 3 - 8 x - 2 ,   s e   x ≠ 2

L     s e   x = 2

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Questão 92

Considere a função f : ℝ → ℝ dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 3 - f ( x )

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Questão 93

Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 0 f ( x )

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Questão 94

Considere a função f : ℝ → ℝ dada por

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Questão 95

6. Considere a função

f x = 2 x 3 - 2 3 x 2 - 3 ,   s e   x < 1 α ,   s e   x = 1 β x 2 - 1 x - 1 ,   s e   1 < x < 2 γ x 2 + 1 2 x ,   s e   x ≥ 2

Encontre valores reais para α , β e γ tais que a função f seja continua nos pontos x 0 = 1 e x 0 = 2 .

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Questão 96

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua para qualquer x .

b )   f x = x ,   s e     x < - 2 b x ²   , s e       x ≥ - 2

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Questão 97

Esboce o gráfico da função

f x = 1 ,   s e   x ≤ - 1 - x ,   s e - 1 < x < 0 1 ,   s e   x = 0 - x ,   s e   0 < x < 1 1 ,   s e   x ≥ 1

Discuta, em detalhes, limites laterais, continuidade e continuidade lateral de f quando x = - 1 ,   0   e - 1 . Alguma da descontinuidade pode ser removida?

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Questão 98

Considere a função f : ℝ → ℝ dada por

a) Construa o gráfico de f .

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Questão 99

Considere a função f : ℝ → ℝ dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 3 + f ( x )

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Questão 100

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

  1. f : ℝ → ℝ dada por

f ( x )   =   x

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Questão 101

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos pontos de

seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

e) f : ℝ → ℝ dada por:

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Questão 102

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

d) f : ℝ → ℝ dada por

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Questão 103

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

b) f : R → R dada por

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Questão 104

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

c) f : ℝ → ℝ dada por

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Questão 105

3. Seja f :   R → R uma função contínua tal que f 0 = f 2 e defina g :   R → R por g x = f x - f x - 1

  1. Mostre que g é continua
  2. Mostre que g 1 + g 2 = 0
  3. Mostre que existe a ∈ [ 1,2 ] tal que f a = f a - 1

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Questão 106

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos pontos de

seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

f) f : ℝ → ℝ dada por:

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Questão 107

2. Calcule o valor de a , b ∈ R , com a > 0 e b ≠ 0 considere a função

f x = 5 x - π 2 + a 2 - 5 a b x - π 2 ,   s e   x < π 1                                         ,   s e   x = π b - 1 sin ⁡ a x - π x - π   ,   s e   x > π

Determine os valores de a e b para que f seja continua em x = π .

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Questão 108

Considere a função f :   R ⟶ R definida por

f x = x 3 + x - 2 s e n 1 x - 2     s e   x < 2 ,   a                                                                                             s e   x = 2 , b x 2 - 4 x - 2                                                         s e   2 < x .

Encontre valores reais para a e b tais que a função f seja contínua em todos os pontos do seu domínio. Justifique a resposta.

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Questão 109

4. Defina a função f :   R →   R por

f x = 2 a x + x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2     s e   x < 2 12 π                                                                                                     s e   x = 2 b sin ⁡ π x - 2 π x - 2                                                         s e   x > 2

Sabendo que f é contínua em x = 2 , é correto afirmar que o valor do produto a b é:

  12 π       24 π       6 π       9 π       36 π       4 π       3 π       2 π

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Questão 110

Seja f : R ⟶ R uma função contínua tal que f 0 = f ( 2 ) e defina g : R ⟶ R   por g x = f x - f ( x - 1 ) . Considere as afirmações:

  • g não é contínua
  • g 1 + g 2 = 0
  • Existe a   ϵ   1,2 tal que f a = f a - 1
  • lim x ⟶ 0 ⁡ g e 4 x + g t g 2 x x = 0
  • g 1 = f 1 - f ( 2 )
  • Se f x = x ( x - 2 ) então g x = 2 x + 3

Então o número exato de afirmações incorretas é:

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4
  6. 5
  7. 6

Não é necessário justificativa.

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Questão 111

Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f x = 1 - t 1 - t 3 ,       s e   t ≠ 1 3 2 ,     s e   t = 1 em t = 1

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Questão 112

Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 0 f ( x )

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Questão 113

a Considere f contínua definida por:

f x = x 2 - 2 x - 24 x - 6 s e x < 6 a s e x = 6 x 11 - 216 x 8 - 1295 x 7 + 279720 x 4 - 1286 x 3 + 277776 x 3 - 216 s e x > 6

Determine lim x → 6 ⁡ f ( x ) . Qual o valor de a ?

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Questão 114

Considere a função

f x = e x + 1 ,                                                 x ≤ - 1 x 2 ,                                     - 1 < x < 1 1 + ln ⁡ x ,                                     x ≥ 1

( a ) Determine os pontos de continuidade de f

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Questão 115

Para a função f   definida por f x = - 2 - x , x < 1 a x + b , 1 ≤ x < 2 x 2 - 7 x + 12 , x ≥ 2

a) Determine os valores de a e b   para que f seja contínua em R .

b) Esboce o gráfico de f .

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Questão 116

29. Prove pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

a) f x = 4 x - 3 em p = 2

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Questão 117

29. Prove pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

c) f x = - 3 x em p = 1

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Questão 118

29. Prove pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

d) f x = x 3 em p = 2

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Questão 119

Encontre os valores de a e b , se possível, tais que a função

f x = x 2 + x - 1 , s e   x < 1 a x + b , s e   1 ≤ x ≤ 2 x 2 - 2 , s e   x > 2 ,

seja contínua para todo x . Justifique.

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Questão 120

Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f x = x ³ cos ⁡ 1 x ,       s e   x ≠ 0 1 ,     s e   x = 0 em x = 0

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Questão 121

Seja

responda justificando.

( a ) f ( x , y ) é contínua em ( 0,0 ) ?

( b ) f ( x , y ) possui derivadas parciais em ( 0,0 ) ? Caso afirmativo calcule-as.

( c ) f ( x , y ) é diferenciável em ( 0,0 ) ?

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Questão 122

Determine os valores de a   e   b que tornam a função abaixo contínua em toda parte

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Questão 123

Seja f a função definida por

f x = - 3 ,     s e   x < - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 ( x + 1 ) ( x - 2 ) x - 2 ,     s e   0 ≤ x < 3 4 ,       s e   x ≥ 3

d) f é contínua no intervalo fechado - 1 2 , 1 ? Justifique.

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Questão 124

Encontre valores apropriados para m e b de modo que a função

f x = x 2 ,     x < 1 m x + b ,     x ≥ 1

seja derivável em 1 e faça um esboço do gráfico de f .

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Questão 125

Considere

f x = x 2 + 2 ,     x < 1 2 x + 1 ,     x ≥ 1

Sem fazer cálculos é possível afirmar que f é contínua em 1 ?

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Questão 126

Considere

f x = x sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Verifique se f é contínua em 0 .

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Questão 127

Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

  1. Construa o gráfico de f ;

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Questão 128

Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 5 f ( x )

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Questão 129

Considere

f x = x 2 + 2 ,     x < 1 2 x + 1 ,     x ≥ 1

Verifique se f é derivável em 1 .

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Questão 130

Considere a função f : ℝ → ℝ dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 3 f ( x )

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Questão 131

Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

  1. Construa o gráfico de f ;

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Questão 132

Considere

f x = x sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Verifique se f é derivável em 0 .

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Questão 133

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f dada passando pelo ponto a ,   f a , caso elas existam.

(a) f x = x 2 + 2 x + 5 e a = 1

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Questão 134

Calcule (atenção: não é permitido usar derivadas no cálculo dos limites):

d)

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x

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Questão 135

Seja

f x = x sin ⁡ ( π x ) ,     x ≤ 2 x 2 + 1 cos ⁡ π x ,     x > 2

Verifique se f é contínua e diferenciável em x = 2 .

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Questão 136

Determine L para que a função f definida abaixo seja contínua em x = 0 .

f x = x 4 cos ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

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Questão 137

Determine a e b sabendo que a função

f x = x 2 - a x + 4 x + 4   s e   x < - 4 - x + b   s e   x ≥ - 4

é contínua.

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Questão 138

1. Quais das funções abaixo são contínuas em x 0 = 3 ? Justifique.

a) f x = x 2 - 5 x + 6 x - 3

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Questão 139

1. Quais das funções abaixo são contínuas em x 0 = 3 ? Justifique.

c) h x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x ≠ 3 6 ,     s e   x = 3

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Questão 140

1. Quais das funções abaixo são contínuas em x 0 = 3 ? Justifique.

d) k x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x < 3 x 2 - 2 x + 3 ,     s e   x ≥ 3

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Questão 141

Diga se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:

  1. A função

f x = 1 - x 2 ,   x < - 1 ln ⁡ 2 - x 2 ,   - 1 ≤ x ≤ 1 x - 1 x + 1 ,   x > 1

É contínua ∀ x ∈ R .

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Questão 142

Calcule os valores possíveis para c para que a função

f x = 1 - x 1 - x 3 ,     x ≠ 1 c 2 ,     x = 1

Seja contínua ∀ x ∈ R .

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Questão 143

Defina se f é contínua em a

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Questão 144

De o domínio da função

f ( x   ) = e x ² + 9 + x 5

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Questão 145

1. Quais das funções abaixo são contínuas em x 0 = 3 ? Justifique.

b) g x = x 2 - 3 x x - 3 ,     s e   x ≠ 3 5 ,     s e   x = 3

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Questão 146

12) Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

f x =   x - 1 x - 1       ,         x ≠ 1   2                       ,       x = 1 em x = 1

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Questão 147

15a) Para a função f definida por:

f x =   - 2 - x                                                   ,                                             x < 1 a x + b                                                           ,               1 ≤ x <   2           x 2 - 7 x + 12                             ,                                           x ≥ 2

Determine os valores de a e b para que f seja contínua em R

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Questão 148

11c) Seja f definida por f x =   x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3               s e     x ≠ - 3 ,   x ≠ - 1 0                                     s e   x =   - 3 - 1 2                             s e   x =   - 1

Dê os pontos onde f é descontínua. Justifique.

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Questão 149

  1. Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz as condições do enunciado.

a) f é contínua em todos os pontos, exceto em x = 3 , onde o limite pela direita existe e é igual a f ( 3 ) .

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Questão 150

11d) Seja f definida por f x =   x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3               s e     x ≠ - 3 ,   x ≠ - 1 0                                     s e   x =   - 3 - 1 2                             s e   x =   - 1

A função f é contínua em R ? Justifique.

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Questão 151

11b) Seja f definida por f x =   x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3               s e     x ≠ - 3 ,   x ≠ - 1 0                                     s e   x =   - 3 - 1 2                             s e   x =   - 1

Dê os pontos onde f é contínua. Justifique.

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Questão 152

3) Considere a função f : R → R definida por

f x = x - 1 6 x - 1 ,     s e   x ≠ 1 1 ,     s e   x = 1

Verifique que lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x . Então f é contínua em R ? Justifique.

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Questão 153

23) Seja f   : R → R , tal que x s e n x ≤ f x ≤ x 2 cos 2 ⁡ x , ∀   x ∈ - π 2 , π 2 . Verifique se f é contínua em x = 0 .

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Questão 154

29. Prove pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

b) f x = x + 1 em p = 2

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Questão 155

20) Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f x =   x 3 ⋅ cos ⁡ 1 x             s e         x ≠ 0 1                                                 s e       x = 0

Em x =     0 .

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Questão 156

Seja f a função definida por

f x = - 3 ,     s e   x < - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 ( x + 1 ) ( x - 2 ) x - 2 ,     s e   0 ≤ x < 3 4 ,       s e   x ≥ 3

d) f é contínua no intervalo fechado - 1 2 , 1 ? Justifique.

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Questão 157

Seja f a função definida por

f x = - 3 ,     s e   x < - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 ( x + 1 ) ( x - 2 ) x - 2 ,     s e   0 ≤ x < 3 4 ,       s e   x ≥ 3

c) f é contínua em x = - 1 ? E em x = 2 ? Justifique.

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Questão 158

Seja f: ⵏR ⟶ ⵏR definida por f ( x ) = { x 2 - 1 ,   s e   | x | ≤ 1 ;   1 - x 2 ,   s e   | x | > 1 .

(b) verifique se f ( x ) é contínua nos pontos -1 e 1?

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Questão 159

2 – Dada a função f : R → R definida por

f x = 2 x + c ,     s e   x ≤ 1 x 2 + 3 x ,     s e   x > 1

Determine o valor de c para o qual f é contínua.

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Questão 160

Determine onde cada uma das seguintes funções é descontínua:

f ( x ) = ( 1 - x ) / x 2   s e   x ≠ 0

1 , �� s e   x = 0

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Questão 161

Determine onde cada uma das seguintes funções é descontínua:

f ( x ) = ( x 2 - x - 2 ) / ( x - 2 )   s e   x ≠ 2

1 ,   s e   x = 2

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Questão 162

Determine os pontos que

f ( x ) = ( l n ( x ) + a r c t a n ( x ) ) / ( x 2 - 9 )

é contínua, e classifique suas descontinuidades.

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Questão 163

  1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam continuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.

f x = 1 + x 2 ,   s e   x ≤ 0 b + x ,   s e   0 < x ≤ a x - a + c ,   s e   x > a

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Questão 164

  1. Determine, caso possível, as constantes a ,   b ∈ R tais que f ( x ) seja contínua em x = 0 .

    2. f x = x + a 2 - 4 a - arctan ⁡ 11 x ,       x < 0 a - 1 ,                                         x = 0 sin ⁡ b x ln ⁡ 1 + 100 x ,       x > 0

  2. Encontre a equação da reta normal à curva y = 2 x - 3 e paralela à reta 9 x + 3 y - 5 = 0

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Questão 165

  1. Seja f x = | x | se x for racional, e f x = 0 se x for irracional. Verifique se f é contínua em x = 0 .
  2. Considere a função f x = a 1 + a 2 cos ⁡ 2 x + a 3 cos ⁡ 4 x , onde a 1 ,   a 2 ,   a 3 são números reais. Sabendo que f 0 = f ' 0 = f ' ' 0 = f ' ' ' 0 e f π 2 = 1 , determine a 1 ,   a 2 ,   a 3 .

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Questão 166

Considere a função

f x = x 2 - 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 2 x ,     s e   0 < x < 1 1 ,     s e   x = 1 - 2 x + 4 ,     s e   1 < x < 2 0 ,     s e   2 < x < 3

Responda:

  1. Existe f ( - 1 ) ?
  2. Existe lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) ?
  3. lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = f ( - 1 ) ?
  4. f ( x ) é contínua em x = - 1 ?
  5. Existe f ( 1 ) ?
  6. Existe lim x → 1 ⁡ f ( x ) ?
  7. lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 ) ?
  8. f ( x ) é contínua em x = 1 ?

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Questão 167

7. Dada a função f x = x 3 cos ⁡ 1 x ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Mostre que:

b) f ' é continua.

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Questão 168

Verifique a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados. No caso de descontinuidade, classifique-a.

g x = x - x x ,     s e   x ≠ 0 0 ,                                           s e   x = 0             x = 0

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Questão 169

Determine m ,   n ∈ R de modo que f x = - x 2 + n x - 3 x 3 - 27 ,           s e   x < 3 1 - m x + 1 x 3 ,           s e   x ≥ 3 seja contínua em x = 3 .

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Questão 170

22) Verifique se existe a ∈ R tal que f x =   1 + a x             ,     x ≤ 0   x 4 + 2 a       ,       x > 0 seja contínua em R .

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Questão 171

7 – Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua:

b) g x = 1 x + 1 , s e   x > - 1 1 s e   x = - 1 x + 1 s e   x < - 1

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Questão 172

7 – Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua:

c) h x = x - 3 , s e   x ≠ 3 2 , s e   x = 3

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Questão 173

Determine o valor de A para que a função f x seja contínua, com: f x = A x - 2 , x ≤ 0 - e x e x + 1 x > 0

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Questão 174

  1. Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz as condições do enunciado.

b) f tem limite em x = 3 , mas não é contínua nesse ponto.

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Questão 175

Determine a ,   b   ∈   R tal que a função f x = - 2 - x       s e   s e   x   <   1 , a x + b       s e   1   ≤   x   <   2 ,   x 2 - 7 x + 12     s e   x   ≥   2 ,   , seja contínua.

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Questão 176

  1. Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz as condições do enunciado.

c) f não é contínua em x = 3 , mas torna-se contínua se seu valor em x = 3 for mudado para f 3 = 0 .

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Questão 177

  1. Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz as condições do enunciado.

d) f é contínua no intervalo 0,3 , está definida em 0,3 mas não é contínua em 0,3 .

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Questão 178

Sabe-se que lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5 e f está definida em R . Todas as afirmações abaixo são falsas. Desenhe um contra-exemplo para cada uma delas.

a) f ( x )   >   0 para x   ∈   ( 1 ,   3 )

b)   f 2 = 5

c) f ( 2 ) é positivo

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Questão 179

  1. Dizemos que f tem uma descontinuidade removível no ponto x   =   a quando existe o limite lim x → a ⁡ f x mas f não é contínua ou não está definida neste ponto. Este é o caso da função f x = x 2     -   1 x   –   1     que não está definida em x   =   1 , mas satisfaz lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 = 2   Note que podemos incluir o ponto x = 1 no domínio fazendo f ( 1 )   =   2 . Com essa definição, a (nova) função f ´é contínua em x   =   1 . Para cada uma das funções abaixo, determine os (possíveis) pontos de descontinuidade removível.
    1. f x = x 2 + 3 x x + 3

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Questão 180

Decida se as funções

f ( x ) x 3 cos ⁡ 1 x   s e   x ≠ 0 1   s e   x = 0

g ( x ) x - 1 x - 1   s e   x   ∈   [ 0 ,   1 )   ∪   ( 1 ,   + ∞ ) 1 / 2   s e   x = 1

são contínuas no ponto x = 0. Repita o exercício para x = 1.

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Questão 181

  1. Lembrando que lim x → 0 ⁡ s e n x = 0 e lim x → 0 ⁡ c o s x = 1 , verifique que lim θ → 0 ⁡ s e n θ + a = s e n ( a ) . Conclua daí que a função seno é contínua

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Questão 182

Considere

Verifique se f �� contínua em 1

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Questão 183

Determine para quais valores de a função f definida abaixo é contínua em x = 1 .

f x = x 2 + a x ,   s e   x ≤ 1 a 2 x 2 - 1 ,   s e   x > 1

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Questão 184

Use o mesmo raciocínio do exercício anterior para verificar que a função cosseno também é contínua. O que se pode dizer sobre a continuidade das demais funções trigonométricas?

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Questão 185

A função maior inteiro é a função que associa, a cada elemento x   ∈   R , o valor [ [ x ] ] que é o maior número inteiro que é menor ou igual a x . Por exemplo,

[ [ 0 ,   5 ] ]   =   0 ,   [ [ 3 ] ]   =   3 ,   [ [ - 1 ,   8 ] ]   =   - 2 .

a) Calcule [ [ 3 ,   7 ] ] ,   [ [ - 0 ,   6 ] ] ,   [ [ n ] ] com n   ∈   N

(b) Estude os limites laterais da função maior inteiro no ponto x   =   2 . Em seguida, decida se ela é contínua neste ponto

(c) Determine todos os pontos onde a função não é contínua

(d) Faça um esboço do gráfico da função

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Questão 186

Mostre que o polinômio p x =   x 6 - 7 x 3 + 2 x 2 + 3 possui pelo menos uma raíz real.

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Questão 187

Q03a) Seja f : I R → I R dada por

f x = 4 x 2 + 3   ,     x ≥ 1 8 x - 2 ,     x < 1

A função f é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta

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Questão 188

Determine o valor de c de forma que f seja contínua em R

f x = x 2 + 2 ,   s e   x ≤ 1 c x + 1 ,   s e > 1

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Questão 189

7 – Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua:

d) i x = 1 x - 5 , s e   x ≠ 5 0 , s e   x = 5

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Questão 190

Seja f : R → R uma função contínua. Dois pontos de seu gráfico estão marcados no plano cartesiano abaixo. É possível garantir que existe x ∈ R tal que f x = 2 x ? Justifique.

Atenção: As intersecções da malha são os pontos de coordenadas n , m ,   n ,   m naturais. O ponto A está ligeiramente acima do ponto ( 3,6 ) e o ponto B está ligeiramente abaixo do ponto ( 4,8 ) .

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Questão 191

Determine valores para a , b ∈ R para que a função definida abaixo seja contínua em R . Justifique muito bem sua resposta:

f x =   b c o s x 2 x ,                       s e   x < 0 0 ,                                                     s e   x = 0 3 - s e n a x x ,           s e   x > 0

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Questão 192

Seja f uma função definida em ℝ e suponha que exista uma constante M > 0 tal que

| f ( x ) - f ( p ) | ≤ M | x - p | 2 ,

para todo x ∈ ℝ .

( a ) Prove que f é contínua em p .

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Questão 193

7.5 Explique por que a função é descontínua no ponto indicado, em seguida, esboce o gráfico da função, nos seguintes casos.

a) f x = e x ,     s e   x < 0 x 2 ,       s e   x ≥ 0 ponto a = 0 .

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Questão 194

7.5 Explique por que a função é descontínua no ponto indicado, em seguida, esboce o gráfico da função, nos seguintes casos.

b) f x = x 2 - x x 2 - 1 ,     s e   x ≠ 1 1 ,       s e   x = 1 ponto a = 1 .

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Questão 195

8.1 Determine o valor da constante a de modo que seja contínua a função dada por

f x = a 3 x 3 + 2 ,       s e   x < 1 a x + 8 ,       s e   x ≥ 1

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Questão 196

Para cada uma das funções seguintes determine o(s) valor(es) de x para o(s) qual(quais) a função é descontínua. identifique o(s) tipo(s) de descontinuidade(s). Nos casos possíveis, encontra uma nova definição para a função de modo a remover qualquer (quaisquer) descontinuidade(s) removível (removíveis).

( c )   h ( x ) = e x + 4 x 3 e 4 x - 3

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Questão 197

8.2 Determine onde cada uma das funções é descontínua:

a) f x = x 2 - x - 2 x - 2

Em seguida, classifique essas descontinuidades.

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Questão 198

Para cada uma das funções seguintes determine o(s) valor(es) de x para o(s) qual(quais) a função é descontínua. identifique o(s) tipo(s) de descontinuidade(s). Nos casos possíveis, encontra uma nova definição para a função de modo a remover qualquer (quaisquer) descontinuidade(s) removível (removíveis).

( a )   f ( x ) = ( x - 1 ) 2 ( x - 1 ) ( x 2 - 4 x + 5 )

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Questão 199

Para cada uma das funções seguintes determine o(s) valor(es) de x para o(s) qual(quais) a função é descontínua. identifique o(s) tipo(s) de descontinuidade(s). Nos casos possíveis, encontra uma nova definição para a função de modo a remover qualquer (quaisquer) descontinuidade(s) removível (removíveis).

( b )   f ( x ) = x - 2 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 10 )

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Questão 200

Sabendo que lim u → 0 ⁡ sin ⁡ ( u ) u = 1 , obtenha o valor de a para que a função f ( x ,   y ) seja contínua

f x ,   y = sin ⁡ ( x 2 - y 2 ) x + y ,     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) a ,                                                               s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

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Questão 201

Mostre que f ( x ) = x + 1 x é contínua para todo x > 0 .

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Questão 202

Estude a continuidade da função

f ( x ) = x 2 - 7 x + 1 x 2 - 9

O que acontece quando x → ± 3 ?

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Questão 203

30. Prove que f x = 1 x é contínua para todo p ≠ 0 .

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Questão 204

31. A função

f x = 2 x   s e   x ≤ 1 1   s e   x > 1

É contínua em 1? Justifique.

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Questão 205

Considere a função f : R → R   dada por

  1. Construa o gráfico de f ;

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Questão 206

Determine, se existirem, valores de a ,   b para os quais a função abaixo seja contínua:

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Questão 207

4. Seja

f x = f x = x 2 - x - 2 x - 2 ,     x ≠ 2 c ,     x = 2

b. A função f possui assíntotas verticais? Justifique!

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Questão 208

4. Seja

f x = f x = x 2 - x - 2 x - 2 ,     x ≠ 2 c ,     x = 2

  1. Determine um valor para constante c de forma que a função f seja contínua em R .

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Questão 209

1. Use a continuidade para calcular o limite seguintes:

a) lim x → 3 ⁡ e x 2 - x

b) lim x → 2 ⁡ a r c t g x 2 - 4 3 x 2 - 6 x

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Questão 210

  1. Dizemos que f tem uma descontinuidade removível no ponto x   =   a quando existe o limite lim x → a ⁡ f x mas f não contínua ou não está definida neste ponto. Este é o caso da função f x = x 2     -   1 x   –   1     que não está definida em x   =   1 , mas satisfaz lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 = 2   Note que podemos incluir o ponto x = 1 no domínio fazendo f ( 1 )   =   2 . Com essa definição, a (nova) função f   ´é contínua em x   =   1 . Para cada uma das funções abaixo, determine os (possíveis) pontos de descontinuidade removível.

b. f x = x | x |

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Questão 211

  1. Dizemos que f tem uma descontinuidade removível no ponto x   =   a quando existe o limite lim x → a ⁡ f x mas f não contínua ou não está definida neste ponto. Este é o caso da função f x = x 2     -   1 x   –   1     que não está definida em x   =   1 , mas satisfaz lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 = 2   Note que podemos incluir o ponto x = 1 no domínio fazendo f ( 1 )   =   2 . Com essa definição, a (nova) função f   ´é contínua em x   =   1 . Para cada uma das funções abaixo, determine os (possíveis) pontos de descontinuidade removível.

c. f x = 5 ∙ s e n ( x ) x

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Questão 212

Mostre que a função

é contínua na origem.

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Questão 213

A função f ( x ) = | x | é contínua em todos os seus pontos (prove!).

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Questão 214

  1. Dizemos que f tem uma descontinuidade removível no ponto x   =   a quando existe o limite lim x → a ⁡ f x mas f não contínua ou não está definida neste ponto. Este é o caso da função f x = x 2     -   1 x   –   1     que não está definida em x   =   1 , mas satisfaz lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 = 2   Note que podemos incluir o ponto x = 1 no domínio fazendo f ( 1 )   =   2 . Com essa definição, a (nova) função f ´é contínua em x   =   1 . Para cada uma das funções abaixo, determine os (possíveis) pontos de descontinuidade removível.

d. f x = x 2 - 1 x 3 - 1

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Questão 215

Mostre que a função abaixo não é contínua na origem (tente procurar um δ e veja o que acontece)

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Questão 216

Seja f ( x ) uma função e suponha que para todo x ∈ R , f ( x ) ≤ x 2 . Calcule lim x → 0 ⁡ f ( x ) . A função é contínua na origem?

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Questão 217

Seja a função

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua

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Questão 218

21) Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f t =   1 - t 1 - ∛ t                 ,       s e   t ≠ 1 3 2                                         ,       s e   t = 1

Em t = 1 .

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Questão 219

Sejam f , g : A ⊆ R → R com lim x → p ⁡ f x = 0 e g ( x ) ≤ M para todo x ∈ A , M fixado. Mostre que lim x → p ⁡ f x g ( x ) = 0 .

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Questão 220

Seja

f x = x + 1 ,     x ≥ 1 2 x ,     x < 1

b) Existe lim x → 1 ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1 ?

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Questão 221

Seja

f x = x + 1 ,     x ≥ 1 2 x ,     x < 1

a) A função f ( x ) é contínua em x = 1 ?

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Questão 222

Qual a semelhança entre o gráfico de

f x = x + 1 ,     x ≥ 1 2 x ,     x < 1

E o pato?

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Questão 223

Seja f : R → R , tal que x 2 cos ² ⁡ x ≤ f x ≤ x sen ⁡ x , ∀ x ∈ - π 2 , π 2 . Verifique se f é contínua em x = 0 .

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Questão 224

Determina a , b para que a função

f x =   a x + 2   ,                                         x > 1 x 2 - 4 x + 1   ,     x < 1 b   ,                                                           x = 1

seja contínua.

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Questão 225

Seja f ( x ) uma função tal que para todo x ≠ 0 temos

cos ⁡ ( x ) - 1 ≤ f x ≤ x 4 + x 2

Calcule lim x → 0 ⁡ f ( x ) . Mostre que se f for contínua então f 0 = 0 .

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Questão 226

Seja

h x = x + 2 + x - 2 x

a ) Determine o domínio de h ( x ) e escreva a expressão da função sem usar módulo. Verifique se a função é par ou ímpar, ou injetora. Justifique sua resposta provando ou dando contra-exemplo.

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Questão 227

Dê condições suficientes e necessárias sobre α e β para que a função

f x =   α x - β   ,     x ≤ 1 , 3 x   ,     1 < x < 2 , β x 2 - α   ,     x ≥ 2

seja contínua.

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Questão 228

Seja

f x = x 5 + 4 x 5 + x 3 + x + 2 ,   x ≥ 0 β cos ⁡ x ,   x < 0

  1. Existe algum valor de β que torna f é contínua em x = 0 ? Justifique sua resposta

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Questão 229

Considere as funções abaixo e determine se são contínuas para o valor de x dado.

f x = x + 2 x + 1                       p a r a   x = 1

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Questão 230

Considere as funções abaixo e determine se são contínuas para o valor de x dado.

f x = s e n ( π )                   p a r a   x = 2

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Questão 231

A função f é contínua em x   =   2 ? Justifique sua resposta.

f ( x ) = 5 x + 2 2 x - 1   s e   x ≥ 2

= 10 x - 3   s e   x < 2

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Questão 232

Encontre o domínio das seguintes funções:

d) p x = 1 x 2 - 4 + 3 x 2 + 1 3 - x

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Questão 233

Seja f a função definida por:

f x = x + 2 ,     s e   x < - 2 x 2 + x - 2 ,     s e - 2 ≤ x ≤ 1 4           ,     s e   x > 1

Determine o domínio de f , esboce seu gráfico e determine sua imagem, I m ( f ) .

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Questão 234

Encontre o domínio das seguintes funções:

a) f x = - 4 x 3 - 1 2 x 2 - 3 x + 2022

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Questão 235

Encontre o domínio das seguintes funções:

b) g x = 3 x 2 - 5 x + 7 x 2 - 9

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Questão 236

Para que a função f : R → R seja contínua em R , o valor de m n deve ser:

f x = 3 x 2 - 7 x + 2 ,   s e   x > 1 m x + n ,   s e - 1 ≤ x ≤ 1 s e n π x 2 ,   s e   x < - 1

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Questão 237

  1. Estude, em função dos valores α ∈ R , a continuidade da função f : R 2 → R ,   dada por

    2. f x , y = x 4 + 2 x 2 y 2 + α y 4 cos ⁡ x 2 + α y 2 - 1 ,         x , y ≠ ( 0,0 ) - 2 α ,         x , y = ( 0,0 )

  2. Analise a diferenciabilidade de f ( x , y ) em ( 0,0 ) para os casos de α = 0 e α = 1 .

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Questão 238

Para cada gráfico da figura 1.3 , determine se a função traçada é contínua no intervalo - 1,3 . Se não for contínua, aponte onde ela deixa de ser contínua e diga qual o tipo de descontinuidade em questão.

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Questão 239

Observando o gráfico de f ( x ) na figura abaixo, determine se a função é contínua ou descontínua em cada um dos seguintes valores de x

  1. x = - 1
  2. x = - 4
  3. x = - 3
  4. x = 3
  5. x = 4

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Questão 240

1.3 , determine se a função traçada é contínua no intervalo - 1,3 . Se não for contínua, aponte onde ela deixa de ser contínua e diga qual o tipo de descontinuidade em questão.

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Questão 241

Para cada gráfico da figura 1.3 , determine se a função traçada é contínua no intervalo - 1,3 . Se não for contínua, aponte onde ela deixa de ser contínua e diga qual o tipo de descontinuidade em questão.

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Questão 242

Determine se as seguintes funções são contínuas em D ( f ) :

c )   h x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x ≠ 3 6 ,     s e   x = 3  

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Questão 243

Para cada gráfico da figura 1.3 , determine se a função traçada é contínua no intervalo - 1,3 . Se não for contínua, aponte onde ela deixa de ser contínua e diga qual o tipo de descontinuidade em questão.

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Questão 244

Determine os possíveis valores de a e b que tornam contínuas as funções abaixo.

f x = a x 2 + 2 x           s e   x < 2 x 3 - a x                 s e   x ≤ 2

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Questão 245

Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua

a )   f x = 3 - x ,         s e   x < 1 4 ,                     s e   x = 1 x 2 + 1 ,     s e   x > 1

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Questão 246

Determine L para que a função f definida abaixo seja contínua em x = 5 .

f x = x - 5 x + 5 - 10 ,   s e   x ≠ 5 L ,   s e   x = 5

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Questão 247

Determine os possíveis valores de a e b que tornam contínuas as funções abaixo.

f x = x 2 - 4 x - 2           s e   x < 2 , a x 2 - b x + 3         s e   2 ≤ x < 3 , 2 x - a + b           s e   x ≥ 3 .

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Questão 248

A função

f ( x ) = x 2 s i n ( 1 / x )   s e   x ≠ 0

e

= 0   s e   x = 0

é da classe C 2

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Questão 249

Para cada afirmação, assinale V se ela for verdadeira, ou F se ela for falsa

( ) Toda função polinomial é contínua em R

( ) Se f x for contínua em a , então lim x → a ⁡ f x = f a

( ) Para uma função f ( x ) , se D f = R , então f é contínua em toda parte

( ) Toda função racional possui descontinuidade onde o denominador é zero

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Questão 250

4.6. A função

k x = x 2 + 1 ,     x ∈ Q x + 1 ,     x ∈ R / Q

é contínua em apenas dois pontos.

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Questão 251

4.7. Em quais pontos a função

k x = cos ⁡ x ,     x ∈ Q s e n x ,     x ∈ R / Q

é contínua?

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Questão 252

Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo

a ) f x = sin ⁡ x 2 - 4 + 5 ,   s e   x > 2 x 2 + x - 6 x - 2 ,   s e   x < 2 5 ,   s e   x = 2

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Questão 253

Encontre o domínio das seguintes funções:

c) h x = x 2 - 4 x + 3

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Questão 254

Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

b) g x , y =   x 2 - y 2 x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                         s e   x , y = ( 0,0 )

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Questão 255

Determine os possíveis valores de a, b e c que tornam contínuas as funções abaixo.

f x = 1 + x 2         s e   x ≤ 0 b + x       s e   0 < x ≤ a x - a + c         s e   x > a

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Questão 256

Encontre os pontos onde há descontinuidade no gráfico

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Questão 257

Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

a) f x ,   y ,   z = 1 x 2 + y 2 + z 2

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Questão 258

Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

b) f x ,   y ,   z = z x 2 + y 2 - 4

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Questão 259

Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

c) f x ,   y ,   z = sin ⁡ z e x + e y

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Questão 260

Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

d) f x ,   y ,   z = x y sin ⁡ ( z )

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Questão 261

Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

e) f x ,   y = sin ⁡ x y x y ,     x y ≠ 0 1 ,                         x y = 0

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Questão 262

Considere as funções abaixo e determine se são contínuas para o valor de x dado.

f x = k                       p a r a   x = 5

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Questão 263

Considere as funções abaixo e determine se são contínuas para o valor de x dado.

f x = x 2 + x ,       s e   x < 1 3 ,                         s e   x = 1 x 2 - 1 x + 1 ,       s e   x > 1 ;                   p a r a   x = 1

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Questão 264

2. Seja f uma função contínua (isto é, contínua em todos os pontos do seu domínio). Sabe-se que f 0 = 3 , f 2 = 0 e f 3 = - 2 . Calcule os limites de lim x → 0 ⁡ f ( x ) , lim x → 2 - ⁡ f ( x ) e lim x → 3 + ⁡ f ( x )

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Questão 265

3. Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é contínua em seu domínio.

  1. f x = x 2 - 3 x + 4 e x
  2. f x = 2 sin ⁡ x - x 2 - 9 x - 3

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Questão 266

5. Sejam a e b números reais tais que a função

f x = x 3 - a x 2 + b x x + 5 15 ,     x = - 5 ,     x ≠ - 5

É contínua. Calcule f 6 .

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Questão 267

2. Calcule o valor de α ∈ R para que a função f seja contínua em x = 0 , onde

f x = tan ⁡ x - sin ⁡ x x 5 + 4 x 3 ,   s e   x ≠ 0 α   ,   s e   x = 0

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Questão 268

  1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam continuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.

f x = sin ⁡ ( b x + b ) a x + a ,   s e   x < - 1 3 x + 1 ,   s e - 1 ≤ x ≤ 0 a ln ⁡ x + e x + 1 ,   s e   x ≥ 0

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Questão 269

Determine os valores das constantes a e b para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ - 3 ,   3 ] .

f x = a ,     x = - 3 9 - x 2 4 - x 2 + 7 ,   - 3 < x < 3 b ,     x = 3

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Questão 270

Dada a função f x = 2 - x 2 + 7 3 x 3 - 1 para x ≠ 1 , defina o valor de g ( 1 ) para que a função g seja contínua em x = 1 , se g x = f ( x ) para x ≠ 1 .

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Questão 271

Determine os valores de a e b para que a função f , dada abaixo, seja contínua em R .

f x = x 4 ,     x ≤ - 1 a x + b ,   - 1 < x < 2 x 2 + 3 ,     x ≥ 2

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Questão 272

Determine a   ∈   R tal que a função

f ( x ) 1 + a x             s e   x ≤ 0 , x 4 + 2 a         s e   x > 0 ,

Seja contínua em x   =   0 .

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Questão 273

Seja f a função definida por:

f x =   x 2 - a x + 3 x - 1 ,       s e   x < 1 b x + 1 ,       s e   x ≥ 1

Determine os valores de a e b para que f seja contínua.

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Questão 274

Determine um valor para a constante k , se possível, que torna a função

f x = k x 2 ,       s e   x ≤ 2 2 x + k ,       s e   x > 2

contínua

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Questão 275

Encontre L tal que a função abaixo seja contínua em x = - 1

f x = L + e x + 1 cos ⁡ x + 1   ,     s e   x ≥ - 1 3 x 3 + 3 x + 2   ,     s e   x < - 1

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Questão 276

Seja f   : R   →   R , tal que:

x 2 c o s 2 ( x )   ≤   f ( x )   ≤   x   s e n ( x )

Para todo x ∈ ( - π / 2 , π / 2 ).

Mostre que f é contínua em x   =   0  

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Questão 277

Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ 0 ,   + ∞ ) .

f x = x 2 + 16 - 5 4 - x 2 + 7 ,     x > 0   e   x ≠ 3 c ,     x = 3

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Questão 278

Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em x = 0 .

f x = 1 - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x ,         x ≠ 0 c ,     x = 0

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Questão 279

Encontre os valores de a , b e c para que os gráficos das funções definidas por f ( x )   =   x ²   +   a x +   b e g ( x )   =     x 3 -   2 x 2 3   +   c se interceptem no ponto ( 1,2 ) e tenham a mesma reta tangente neste ponto.

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Questão 280

Determine, se existir, o valor L ∈ R para que cada uma das funções abaixo seja contínua

a ) f x = sin ⁡ x 2 + 2 - sin ⁡ ( x + 2 ) x ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

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Questão 281

Determine, se existir, o valor L ∈ R para que cada uma das funções abaixo sejam contínuas

b ) f x = x 8 + x 4 x 2 ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

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Questão 282

Sejam f , g : R → R tais que:

(i) f é contínua em x = 0 e

(ii) g é descontínua em x = 0.

Pode-se concluir corretamente que é descontínua em x = 0 a função:

a. f + g; b. f g; c. f ◦ g; d. g ◦ f ; e. |g|.

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Questão 283

Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo

b ) f x = x 2 - 4 x + 3 x - 3 ,   s e   x ≠ 3 1 ,   s e   x = 3

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Questão 284

Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo

c ) f x = 1 + - 1 x 2 sin ⁡ π x ,   o n d e   x   é   o   m a i o r   i n t e i r o   m e n o r   o u   i g u a l   a   x

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Questão 285

Seja f : R → R a função dada por f(x) = { x 2 , se x ∈ Q; x 3 , se x ∈ R \ Q.

O conjunto descontinuidades de f é: a. ∅; b. Q; c. R \ Q; d. R \ {0}; e. R.

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Questão 286

Para que a função f ( x )   = {         | x   2   +   2 x   −   3 | x - 1   , se x   <   1 ; x �� +   k , se x   ≥   1 . seja contínua em R o valor da constante k deve ser:

a. −7; b. 1; c. 3; d. −1; e. −5.

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Questão 287

Construa uma função f : R → R que é contínua em um único ponto.

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Questão 288

Construa uma função f : R → R que é contínua somente em dois pontos.

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Questão 289

Seja f uma função real tal que |   f ( x ) |   ≤   |   s i n ( x ) | para todo x   ∈   R . Então

a. f pode ser descontínua em x = 0 ;

b. f é contínua em x = 0 , mas pode não ser derivável em x = 0 ;

c. f é derivável em x = 0 e   f   ′   ( 0 )   = 0 ;

d. f é derivável em x = 0 e   f   ′   ( 0 )   = 1 ;

e. f é derivável em x = 0 mas podemos apenas afirmar que − 1   ≤   f   ′   ( 0 )   ≤ 1 .

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Questão 290

Sabendo que f   :   R   →   R é derivável em a   ∈ ] 0 ,   + ∞ [ , calcule l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a em termos de f   ′ ( a ) .

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Questão 291

Existe um valor α tal que a função f ( x )

g ( x ) = 1 - 1 + A x B x 1 + A x

seja contínua em x = 0 ?

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Questão 292

Considere a função f(x) = x|x|. Decida se f é derivável em x 0 = 0 e calcule f′(0) em caso afirmativo.

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Questão 293

Dê um exemplo com duas funções f e g tais que f seja contínua em x = 0 , g seja descontínua em x = 0 e no entanto f . g seja contínua em x = 0 .

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Questão 294

Definia se f é contínua em a

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Questão 295

Responda as seguintes perguntas (justifique suas respostas):

  1. Será que a equação x 3 + e x - 1 4 = 0 tem solução real?

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Questão 296

Dada f ( x , y ) =   0 ,   s e   ( x , y )   =   ( 0,0 ) ; e f ( x , y ) = 2 x y 2 x ² + 2 y ²

  1. Determine se f é contínua na origem.

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Questão 297

41. Seja f x = x 5 + x + 1 . Justifique a afirmação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo - 1,0 .

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Questão 298

Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ 0 ,   + ∞ ) .

f x = x + x - 2 x - 1 ,     0 < x < 1 c x + 5 x 2 + 3 ,     x ≥ 1 .

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Questão 299

Determine os pontos de descontinuidade da função a seguir

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Questão 300

2) Seja

h t = t - 2 d 3 , s e   t < 0 ; c - d cos ⁡ t , s e   0 ≤ t ≤ π / 2   ; d sen ⁡ t + 2 , s e   t > π / 2 .

Determine os valores de c e d para os quais h é contínua.

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Questão 301

Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ 2 ,   + ∞ ) .

f x = x 2 - 4 x 2 - 3 x + 2 ,     x > 2 c ,     x = 2

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Questão 302

De o domínio da função

f ( x   ) = l n ( x + 4 ) + x 3

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Questão 303

De o domínio da função

x ² + x - 6 x ² - 2 x

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Questão 304

De o domínio da função

f ( x   ) = x ² + 3 x + 2

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Questão 305

Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.

a. Se f : R → R é tal que | f | é contínua em x = 0, então f é contínua em x = 0.

b. Se f e g são funções descontínuas em x = 0, então a função f g é descontínua em x = 0.

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Questão 306

Seja f ( x )   =     x 3 s i n ( 1 | x | ) | x | , se x ≠   0 ; 0, se x   =   0 .

Em x 0   =   0 pode-se afirmar que f é

a. descontínua;

b. derivável e f   ′   ( 0 )   =   1 ;

c. contínua mas não derivável;

d. derivável e f   ′   ( 0 )   =   0 ;

e. derivável e f   ′   ( 0 )   = - 1 .

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Questão 307

Suponha que f : 0,1 → R é contínua e que 0 ≤ f x ≤ 1 , para todo x ∈ 0,1 . Prove que existe c ∈ 0,1 tal que f c = c .

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Questão 308

Considere as seguintes afirmações:

I . Se g é limitada e lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞ , então lim x → + ∞ ⁡ g x f ( x ) = + ∞ .

I I . Se f : R → R é uma função tal que f x - f ( y ) ≤ x - y 2 então, f é derivável.

I I I . Se g : R → R é descontínua em x 0 e limitada então, f x = x g x sin ⁡ ( x ) é derivável em x 0 = 0 .

São corretas

a. nenhuma das afirmações;

b. todas as afirmações;

c. somente as afirmações I e I I ;

d. somente as afirmações I e I I I ;

e. somente as afirmações I I e I I I .

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Questão 309

Suponha que f : 0,1 → R é contínua, f 0 = 1 e f x é um número racional para todo o x ∈ 0,1 . Prove que f x = 1 , para todo x ∈ 0,1 .

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Questão 310

Determine L para que a função seja contínua no ponto dado. Justifique.

em p = 2

em p = 0

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Questão 311

Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique porquê.

e) A função é contínua em x = 0 ?

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Questão 312

Seja f : R → R , tal que:

f x = x 2 - 2 ,     x ≤ 4 8 x ,     x > 4

Calcule, caso exista, lim x → 4 ⁡ f x - f 4 x - 4 . Essa função é contínua em x = 4 ?

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Questão 313

Considere a função f : R → R dada por f x = e - 1 / x 2   ,     s e   x ≠ 0 0                             s e   x = 0

a) Mostre que f é contínua em x = 0 .

b) Decida se f é derivável em x = 0 . Em caso afirmativo, calcule f ' ( 0 ) .

c) Esboce, no sistema de coordenadas abaixo, o gráfico de f , determinando os intervalos de crescimento, concavidade e limites necessários.

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Questão 314

Seja g uma função contínua no intervalo [ - 1 ,   2 ] e derivável em ] - 1 ,   2 [ , que assume os valores

g - 1 = 0                 g 0 = 4                 g 1 = 2               g 2 = 2

Considere as afirmações:

I A equação g x = 3 tem pelo menos uma solução no intervalo [ - 1 ,   0 ] .

I I A equação g x = 2 tem exatamente uma solução no intervalo [ - 1 ,   0 ] .

I I I A função g admite um ponto crítico no intervalo ] 1 ,   2 [ .

Pode-se dizer com certeza que:

a. todas as afirmações são falsa.

b. somente as afirmações I e I I I são verdadeiras.

c. somente as afirmações I e I I são verdadeiras.

d. todas as afirmações são verdadeiras.

e. somente a afirmação I é verdadeira.

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Questão 315

Seja f x , y = x x 2 + y 2 - 3 / 2 e sin ⁡ ( x 2 y ) . Calcule ∂ f ∂ x ( 1,0 )

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Questão 316

Determine os pontos de continuidade da função

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Questão 317

2. Seja f : R → R uma função que, em todo - 1 ≤ x ≤ 1 , vale s e n ⁡ ( x ) 1 + x 2 ≤ f ( x ) ≤ 2 x - x 2 4 - x 2 .

Verifique se pode garantir que  f  é contínua em  x = 0 .

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Questão 318

Considere a função

f x = x + x 3 sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

b) f é uma função contínua em todo o seu domínio?

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Questão 319

Responda as seguintes perguntas (justifique suas respostas):

  1. Será que toda função que é contínua também é diferenciável?

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Questão 320

Determine os possíveis valores de a, b e c que tornam contínuas as funções abaixo.

f x = sin ⁡ b x + b a x + a         s e   x < - 1 , 3 x + 1       s e - 1 ≤ x ≤ 0 , a ln ⁡ x + e x + 1 + b         s e   x > 0

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Conteúdos Complementares

Conceitos de Continuidade

Função contínua

Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Polinômio de Taylor para f(x,y)Lista de Wronskiano - Dependência e Independência LinearLista de Caso Vetorial no R³Lista de Caso AvançadoLista de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)Lista de Caso Escalar R²Lista de Área de Superfícies de RevoluçãoLista de Limites Laterais e Existência do LimiteLista de Curvas de NívelLista de Área entre Curvas

Principais Conceitos de Cálculo

Coeficiente LinearSemelhança de triângulos - FórmulaDiagrama De VennEquação da ParábolaPrimitivasEquação da ElipseTabelas de Relações TrigonométricasTabela de DerivadasPropriedades do Logaritmo - Tabela