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Exercícios de Continuidade - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua:

f x = sen ⁡ 1 x - x + x ,       x < 0 cos ⁡ x - A ,       x ≥ 0

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Questão 2

Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f t = 1 - t 1 - t 3                       s e     t ≠ 1 3 / 2                                       s e   t = 1

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Questão 3

Considere

f x = a 2 sen ⁡ 4 x x   s e x < 0 b s e x = 0 b 2 + 1 - cos ⁡ x x sen ⁡ 1 x s e x > 0

Determine os pares ordenados a , b de forma que essa função seja contínua em x = 0 .

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Questão 4

Calcule o valor das constantes a e b para que a função abaixo seja contínua em x = 0 .

f ( x ) = 1 x + 2 ,       s e   x < 0 a ,       s e   x = 0 sen ⁡ ( b x ) x ,       s e   x > 0

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Questão 5

Determine as constantes A e B para que a função abaixo seja contínua em x 0 = 2 .

f x = x 3 - x 2 + x - 1 ,     x > 2 A ,     x = 2 B - x 2 ,     x < 2

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Questão 6

Sabe-se que f é contínua em 2 e que f ( 2 ) = 8 . Mostre que existe δ > 0 tal que para todo x ∈ D f

2 - δ < x < 2 + δ → f ( x ) > 7 .

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Questão 7

Seja f uma função definida em ℝ e suponha que existe M > 0 tal que | f ( x ) - f ( p ) | ≤ M | x - p | para todo x . Prove que f é contínua em p .

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Questão 8

Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

  1. Determine o lim x → a ⁡ f x para a = 0,1 , 2,3 , 4 se existir
  2. Em que ponto f não é contínua

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Questão 9

Considere f definida por:

f x = x 2 - 9 x + 3 s e   x > - 3 4 s e   x = - 3 x 2 + a s e   x < - 3

  1. Determine a tal que lim x → - 3 - ⁡ f x = f - 3
  2. Para o valor de a calculado no item anterior, f é contínua em x = - 3 ?
  3. Calcule lim n → ∞ ⁡ f - 3 + 1 n , se existir

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Questão 10

11 – Considere a função

f x = x + 1 ,     s e   x ≤ 0 c x ,     s e   x > 0

a) Existe uma constante c para qual a constante seja contínua em x = 0 ? Justifique sua resposta.

b) se existir uma constante c tal que f x seja contínua em x = 0 , esboce o gráfico de f x .

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Questão 11

Verifique se a função dada é contínua no ponto x = 1 .

f x = x - 1 x - 1       x ≠ 1 2                                   x = 1

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Questão 12

1) Sejam a e b números reais tais que a função

f x = sin ⁡ ( 24 x ) x ,   s e   x < 0 x 2 + a x + b ,   s e 0 ≤ x ≤ 6 18 ,   s e   x > 6

É continua em toda parte. O valor de f ( 1 ) é

Escolha uma:

a) 18

b) 22

c) 16

d) 20

e) 14

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Questão 13

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x ≥ 1 2 x ,                     s e   x < 1

( a ) A função é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta.

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Questão 14

  1. Explique o que significa dizer que uma função f é contínua no ponto x = a .

.

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Questão 15

Considere a função f ( x , y ) dada pela expressão

f x , y = { - 3 x y 2 - x 3 x 2 + y 2 ,     x , y ≠ ( 0,0 )   1 ,     x , y = ( 0,0 )  

  1. Se ( x 0 , y 0 ) ≠ ( 0,0 ) , explique se f é ou não contínua em x 0 , y 0 ). Em seguida, calcule

    2. f ( x , y )  

  2. Explique se f é ou não contínua em 0,0 .

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Questão 16

Questão 2 - Seja f : R → R , definida por

f x = s e n a x 5 x - 1 , s e   x < 0 x 2 - 4 x + 3 x - 1 , s e   0 ≤ x < 1 b , s e   x = 1 x c x - 1 s e   x > 1

Determine o valor das constantes reais a , b e c que tornam f contínua em todo R .

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Questão 17

Seja f x = x 2 - 3 x 3 sen ⁡ 1 x - 3 3 + arctg ⁡ x ,     s e   x ≠ 3 1 ,                                                         s e   x = 3

a ) Determine todos os pontos em que f não é contínua. Justifique.

b ) Determine todos os pontos em que f não é derivável. Justifique.

c ) Calcule a derivada de f nos pontos em que f é derivável.

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Questão 18

4) Determine os valores das constantes A e B , de tal forma que a função f definida por:

f x = 3 x , s e x ≤ 2 A x + B , s e 2 < x < 5 - 6 x , s e x ≥ 5

Seja continua no intervalo - ∞ , ∞ .

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Questão 19

Verifique se a função dada é contínua no ponto x = 1 .

f x = x - 1 x - 1   p a r a   x ≠ 1 2   p a r a   x = 1

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Questão 20

Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

f x = 1 2 x - 1 x ,     - 2 ≤ x ≤ 2

Onde x   é a função maior inteiro que não supera x . Nos pontos x = 0 e x = 1

Sugestão: Esboce o gráfico de f

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Questão 21

Seja f definida por

f x = x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3 s e x ≠ - 3 , x ≠ - 1 0 s e x = - 3 - 1 2 s e x = - 1

a) A função f está definida em R ? Justifique

b) Dê os pontos onde f é contínua. Justifique

c) Dê os pontos f é descontínua. Justifique

d) A função f é contínua em R ? Justifique

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Questão 22

Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

c) g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           s e   x , y = ( 0,0 )

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Questão 23

Resolva os itens abaixo justificando detalhadamente suas soluções.

( a ) A função definida por f x = x 2 - 1 x - 1 para x ≠ 1 e f 1 = 2 é contínua em x = 1 ?

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Questão 24

Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

a) f x , y =   - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4 ,             s e   x , y ≠ ( 0 , - 1 ) 0 ,                                         s e   x , y = 0 , - 1

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Questão 25

Considere as afirmativas abaixo:

  1. Se h é descontínua no ponto x = c , então o limite lateral em lim x → c + ⁡ h ( x ) não existe.
  2. Se lim x → 1 ⁡ ( g x + f ( x ) ) existe, então lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe.

É verdadeira ou são verdadeiras:

  1. Nenhuma das afirmativas.
  2. Somente a afirmativa (II).
  3. Somente a afirmativa (I).
  4. As afirmativas (I) e (II).

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Questão 26

(b) Ache os pontos dos parâmetros A e B para que a função seja continua em x = 1   , onde f é definida por

f x =   x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 + A ,       s e   x > 1 2                                                         ,         s e   x = 1 x 2 - B + 1 x + B x - 1 ,     s e   x < 1

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Questão 27

Para que a função f : R → R seja contínua em R , o valor de m n deve ser:

f x = 3 x 2 - 7 x + 2 ,   s e   x > 1 m x + n ,   s e - 1 ≤ x ≤ 1 s e n π x 2 ,   s e   x < - 1

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Questão 28

Para que a função

f x = x 2 + 2 x - 3 x - 1 ,                     s e   x < 1 x + k ,                                                     s e   x ≥ 1

Seja contínua em R o valor da constante k deve ser

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Questão 29

Seja

f x , y = y 3 x 2 + y 2 ,               x ,   y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                                         x , y = ( 0,0 )

  1. Determine se f é contínua no ponto ( 0,0 ).
  2. Determine se f é diferenciável no ponto (0,0).

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Questão 30

  1. Considere a função f cujo gráfico está representado abaixo. Determine os pontos de continuidade e descontinuidade de f .

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Questão 31

  1. Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é contínua em seu domínio.
  1. f x = arcsin ⁡ x 2 - 1
  2. f x = 6 + sin ⁡ ( x + sin ⁡ x ) x 2

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Questão 32

Determine se as seguintes funções são contínuas em D ( f ) :

  1. f x = x 2 - 9 x - 3  

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Questão 33

Determine se as seguintes funções são contínuas em D ( f ) :

b )   g x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x ≠ 3 3 ,     s e   x = 3  

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Questão 34

Defina a função f : R ⟶ R por

f x =   3 a x + x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2   s e   x < 2 , 12 π                                                                                                 s e   x = 2 , b s e n π x 2 - 4 π x - 2                                             s e   x > 2 .

Sabendo que f é contínua em x = 2 é correto afirmar que o valor do produto a ⋅ b é:

  1. 12 π
  2. 8 π
  3. 6 π
  4. 2 π
  5. π
  6. 4 π
  7. 3 π
  8. 0

Não é necessário justificativa.

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Questão 35

Discuta a continuidade de f :

d) f x ,   y = x y x + y     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

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Questão 36

Discuta a continuidade de f :

a) f x ,   y = x y x 2 + y 2     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

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Questão 37

Discuta a continuidade de f :

b) f x ,   y = x 2 y x 4 + y 2     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

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Questão 38

Discuta a continuidade de f :

c) f x ,   y = x + y x 2 + y 2     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

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Questão 39

Determine a região de continuidade de f e trace o esboço, mostrando com uma região sombreada em R 2 a região de continuidade de f :

c) f x ,   y = x y 16 - x 2 - y 2

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Questão 40

Determine a região de continuidade de f e trace o esboço, mostrando com uma região sombreada em R 2 a região de continuidade de f :

d) f x ,   y = x 4 x 2 - 9 y 2 - 36

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Questão 41

Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

b) f x ,   y = x + y sin ⁡ x y

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Questão 42

Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

c) f x ,   y = x 2 y 2 x 2 + y 2

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Questão 43

Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

d) f x ,   y = x 3 y 2 x 6 + y 4

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Questão 44

Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina f ( 0 ,   0 ) tal que remova a descontinuidade.

a) f x ,   y = x y x + y

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Questão 45

Dada a função f definida por

Estude a continuidade de f em x = 1 . Defina f em x = 0 de modo a tornar f contínua neste ponto.

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Questão 46

Considere a função

f x = x e x 3 ,             x ≥ 1 a x 2 ,                 x < 1

Encontre o valor de a para que f seja contínua em x = 1 .

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Questão 47

( b ) Verifique se a função

f x = x 2 - 2 x + 1 x 2 - 3 x + 2 + 2 x - 1 cos ⁡ x - 1 ,                       s e   x ≠ 1 1 ,                                                                                                                                                         s e   x = 1

É contínua em x = 1 . Justifique.

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Questão 48

4. Considere a função f dada por

f x = e x 2 + 1 sin ⁡ π x - ln ⁡ x 2 + e cos ⁡ π x

  1. Mostre que f é continua para todo x real.
  2. Mostre que f tem pelo menos uma raiz real.

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Questão 49

Calcule os seguintes limites (não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):

c lim x → 0 ⁡ f x , onde

f x = sen ⁡ x x + sen ⁡ x ,       s e   x ≠ 0 0 ,       s e   x = 0

A função f é contínua em x = 0 ? (Justifique!)

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Questão 50

Mostre que existe um número real que é igual a soma de seu cubo e de seu quadrado menos cinco.

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Questão 51

4. Use a continuidade das funções do exercício anterior para calcular os limites abaixo:

  1. lim x → 1 ⁡ x 2 - 3 x + 4 e x
  2. lim x → 0 - ⁡ 2 sin ⁡ x - x 2 - 9 x - 3 ⁡

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Questão 52

2. Use a continuidade das funções do exercício anterior para calcular os limites abaixo:

  1. lim x → 1 2 ⁡ arcsin ⁡ ( x 2 - 1 )
  2. lim x → π ⁡ 6 + sin ⁡ ( x + sin ⁡ x ) x 2 ⁡

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Questão 53

Verifique se a função f abaixo é contínua no ponto a indicado

x 2 - 8 ,   s e   x < 3

s i n ( x - 3 ) x - 3   s e   x > 3

1   s e   x = 3

onde a = 3

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Questão 54

Verifique se a função f abaixo é contínua no ponto a indicado

x - x 2 ,   s e   x < - 2

x 3 + 2   s e   x > - 2

3   s e   x = - 2

onde a = 3

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Questão 55

Determine o valor de L para que as funções abaixo sejam contínuas.

c )   f x = x - 5 x + 5 - 10 , s e     x ≠ 5 L , s e       x = 5

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Questão 56

Verifique se a função abaixo é contínua no ponto a indicado

x + 3 ,   s e   x ≤ 1

4   s e   x > 1

onde a = 1

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Questão 57

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua para qualquer x .

a )   f x = x 2 - 1 ,   s e     x < 3 2 a x   , s e       x ≥ 3

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Questão 58

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua para qualquer x .

e )   f x = a x + 2 b ,   s e     x ≤ 0 x 2 + 3 a - b   , s e       0 < x ≤ 2 3 x - 5 ,   s e   x > 2

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Questão 59

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua para qualquer x .

c )   f x = a 2 x - 2 a ,   s e     x ≥ 2 12   , s e       x < 2

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Questão 60

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua para qualquer x .

d )   f x = - 2 ,   s e     x ≤ - 1 a x - b   , s e       - 1 < x < 1 3 ,   s e   x ≥ 1

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Questão 61

Considere a função

f x = x ²   -   3 x   +   2 x - 1

Mostre que lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe. A função   f   é contínua em x   =   1 ?

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Questão 62

  1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam continuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.

f x = x 2 - 4 x - 2 ,   s e   x < 2 a x 2 - b x + 3 ,   s e   2 ≤ x < 3 2 x - a + b ,   s e   x ≥ 3

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Questão 63

  1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam contínuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.
  1. f x = a x 2 + 2 x ,   s e   x < 2 x 3 - a x ,   s e   x ≥ 2

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Questão 64

Verifique se a função dada é contínua no ponto x = 1 .

f x = x - 1 x - 1       x ≠ 1 2                                   x = 1

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Questão 65

Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados.

f x = x 2 + 1 x 6 + x 2 + 2

Em qualquer x ∈ R .

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Questão 66

Verifique se existe a   ϵ   R tal que

f x = 1 + a x ,         x ≤ 0 x 4 + 2 a ,       x > 0

seja contínua em R

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Questão 67

Questão 3: Seja f : R → R dada por

f x = - 6 x - 3 x - 2                 ,         s e       x ≥ 1   4 x - 1                           ,         s e       x < 1                

  1. A função é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta.

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Questão 68

Questão 1:

  1. Calcule o seguinte limite:

    2. lim x → 0 ⁡ x 2 + 9 - x + 9 5 x

  2. Seja a um número diferente de z e r o . Calcule o seguinte limite:

    3. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x a x

  3. Determine valores de a , b de modo a que a função f seja contínua em x = 0 , onde

f x = x 2 + 9 - x + 9 5 x             s e           x > 0 sen ⁡ 3 x a x                                                   s e           x < 0 b                                                                             s e           x = 0

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Questão 69

Questão 2:

Para quais valores de c a função abaixo é contínua em - ∞ ,   ∞ ?

f x = c 2 x 2 + 2 x                       s e                       x < 2 x 3 - c x                                 s e                       x ≥ 2

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Questão 70

Determine o valor de L para que as funções abaixo sejam contínuas.

b )   f x = x - 3 x - 3 , s e     x ≠ 3 L , s e       x = 3

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Questão 71

Considere a seguinte função f : I R - I R dada por:

f x = x 2 - 3 x + 2 b x 2 - 1 ,     x < 1 sin ⁡ x 2 - 1 x - 1 ,     x > 1 c ,     x = 1

Os valores reais de b ≠ 0 e c que tornam f contínua são:

  1. b = - 1 4 e c = 2
  2. b = - 1 2 e c = 2
  3. b = - 1 3 e c = 2
  4. b = - 1 2 e c = 1
  5. b = - 1 4 e c = 1

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Questão 72

Considere a função f : - π , π → I R definida por

f x = 1 - cos ⁡ x s i n ²   x   ,     s e   x ≠ 0 β ,     s e   x = 0

O valor de β para que f seja contínua em x = 0 é:

  1. 2
  2. 1 2
  3. 2 3
  4. 1 4

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Questão 73

Q01II) Considere a função abaixo

f x = - a x + 3 ,     s e   0 < x ≤ 2 x - b ,     s e   2 < x ≤ 3 2 ,     s e   3 < x ≤ 4

Encontre valores de a e b de modo que f seja uma função contínua.

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Questão 74

2) Considere a função f definida como:

f x = 3 x - 1 - 3 x + 1 x ,     p a r a   x > 0 a ,     p a r a   x = 0 sin ⁡ a x x ,     p a r a   x < 0

Determine o valor de a para que tenhamos f contínua em I R

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Questão 75

Considere a função f : I R → I R definida por:

f x = a ,     s e   x = 0 sin ⁡ x x - 2 3 x ,     s e   x ≠ 0

(a) Determine o valor de a ∈ I R para que f seja contínua em x = 0

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Questão 76

Seja f : I R → I R uma função e suponha que para todo x ≠ 0 tenhamos

cos ⁡ x - 1 ≤ f x ≤ x 4 + x 2                     1

(a) Calcule o limite lim x → 0 ⁡ f x

(b) Mostre que se f for contínua então f 0 = 0

(c) Dê um exemplo de uma função contínua satisfazendo 1

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Questão 77

Determine a região de continuidade de f e trace o esboço, mostrando com uma região sombreada em R 2 a região de continuidade de f :

a) f x ,   y = y x 2 - y 2 - 4

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Questão 78

Determine a região de continuidade de f e trace o esboço, mostrando com uma região sombreada em R 2 a região de continuidade de f :

b) f x ,   y = x 2 + y 2 9 - x 2 - y 2

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Questão 79

14) Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

f x = 1 2 x - 1 [ x ] para - 2 ≤ x ≤ 2 , onde [ x ] = maior inteiro que não supera x . Pontos x = 0 e x = 1.(Sugestão: esboce o gráfico de f )

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Questão 80

13) Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

f x = x 2 + 1   x 6 + x 2 + 2 em qualquer x ∈ R

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Questão 81

Seja a um número real não nulo tal que a função f definida por

f x = x 2 + 6 a x + a 2 ,       s e   x ≤ 5 11 x + 34 a - 30 ,       s e   x > 5

É contínua em todo domínio. O valor de f ( - 1 ) é

Escolha uma:

a ) - 5

b ) - 9

c ) - 7

d ) - 13

e ) - 17

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Questão 82

Sejam a e b tal que a função

f x = - 9 ,       s e   x ≤ - 15 ,                                 a x + b ,         s e - 15 < x ≤ 0 6 - x 2 ,       s e   x > 0                                

É contínua em todo ponto. O valor de 3 f ( - 5 ) é

Escolha uma:

a )   3

b )   51

c ) - 7

d )   21

e )   39

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Questão 83

Encontre os valores de a e b que tornam f continua em toda parte.

f x =   { x 2 - 4 x - 2 ,     s e   x < 2                                 a x 2 - b x + 3 ,       s e   2 < x < 3   2 x - a + b ,       s e   x ≥ 3                            

Calcule 2 a + b

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Questão 84

Considere a função

f x = a x + b ,   x < 1 x 2 + 1 , x ≥ 1

  1. Calcule o limite lim h → 0 + ⁡ f 1 + h - f 1 h
  2. Determine as constantes a e b para que f seja derivável em x = 1

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Questão 85

Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

d) h x , y =   x y 2 x 2 + y 4 ,               s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                             s e   x , y = ( 0,0 )

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Questão 86

Considere uma função contínua f : [ 0,1 ] ⟶ R tal que 0 < f ( x ) < 1 para todo 0 ≤ x ≤ 1 .

  1. Defina g : [ 0,1 ] ⟶ R por g x = f x - x . Mostre que g é contínua.
  2. Use a função g para mostrar que existe um ponto c   ϵ   0,1 tal que f c = c .

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Questão 87

  1. Determine, caso possível, as constantes a ,   b ∈ R tais que f ( x ) seja contínua em x = 0 .

    2. f x = x + a 2 - 4 a - arctan ⁡ 11 x ,       x < 0 a - 1 ,                                         x = 0 sin ⁡ b x ln ⁡ 1 + 100 x ,       x > 0

  2. Encontre a equação da reta normal à curva y = 2 x - 3 e paralela à reta 9 x + 3 y - 5 = 0

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Questão 88

Um atacadista deseja cobrar R $ 2,00 por cada metro de tecido até 10 metros e R $ 1,50 por cada metro a partir de 10 metros. Para tanto, ele estipulou o preço P ( x ) de x metros por

P x = 2 x ,       0 ≤ x ≤ 10 1,5 x ,       10 < x

  1. Quanto se paga por 9 e por 12 metros? Explique por que a função acima não reflete o desejo do atacadista.
  2. Alterando a segunda linha para P x = 1,5 x + A , 10 < x , use a definição de continuidade para determinar a constante A de modo que a função satisfaça o desejo do atacadista. Quais os preços de 9 e 12 metros, usando a função modificada?

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Questão 89

Verifique se a função f abaixo é contínua no ponto a indicado

1 - x 2 ,   s e   x < 2

x - 5   s e   x > 2

0   s e   x = 2

onde a = 2

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Questão 90

Verifique se a função f abaixo é contínua no ponto a indicado

s i n ( x ) x ,   s e   x < 0

t g ( x ) x   s e   x > 0

1   s e   x = 0

onde a = 0

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Questão 91

Qual deve ser o valor de L para que função f abaixo seja contínua?

x 3 - 8 x - 2 ,   s e   x ≠ 2

L     s e   x = 2

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Questão 92

Considere a função f : ℝ → ℝ dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 3 - f ( x )

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Questão 93

Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 0 f ( x )

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Questão 94

Considere a função f : ℝ → ℝ dada por

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Questão 95

6. Considere a função

f x = 2 x 3 - 2 3 x 2 - 3 ,   s e   x < 1 α ,   s e   x = 1 β x 2 - 1 x - 1 ,   s e   1 < x < 2 γ x 2 + 1 2 x ,   s e   x ≥ 2

Encontre valores reais para α , β e γ tais que a função f seja continua nos pontos x 0 = 1 e x 0 = 2 .

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Questão 96

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua para qualquer x .

b )   f x = x ,   s e     x < - 2 b x ²   , s e       x ≥ - 2

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Questão 97

Esboce o gráfico da função

f x = 1 ,   s e   x ≤ - 1 - x ,   s e - 1 < x < 0 1 ,   s e   x = 0 - x ,   s e   0 < x < 1 1 ,   s e   x ≥ 1

Discuta, em detalhes, limites laterais, continuidade e continuidade lateral de f quando x = - 1 ,   0   e - 1 . Alguma da descontinuidade pode ser removida?

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Questão 98

Considere a função f : ℝ → ℝ dada por

a) Construa o gráfico de f .

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Questão 99

Considere a função f : ℝ → ℝ dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 3 + f ( x )

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Questão 100

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

  1. f : ℝ → ℝ dada por

f ( x )   =   x

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Questão 101

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos pontos de

seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

e) f : ℝ → ℝ dada por:

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Questão 102

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

d) f : ℝ → ℝ dada por

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Questão 103

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

b) f : R → R dada por

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Questão 104

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

c) f : ℝ → ℝ dada por

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Questão 105

3. Seja f :   R → R uma função contínua tal que f 0 = f 2 e defina g :   R → R por g x = f x - f x - 1

  1. Mostre que g é continua
  2. Mostre que g 1 + g 2 = 0
  3. Mostre que existe a ∈ [ 1,2 ] tal que f a = f a - 1

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Questão 106

Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos pontos de

seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

f) f : ℝ → ℝ dada por:

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Questão 107

2. Calcule o valor de a , b ∈ R , com a > 0 e b ≠ 0 considere a função

f x = 5 x - π 2 + a 2 - 5 a b x - π 2 ,   s e   x < π 1                                         ,   s e   x = π b - 1 sin ⁡ a x - π x - π   ,   s e   x > π

Determine os valores de a e b para que f seja continua em x = π .

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Questão 108

Considere a função f :   R ⟶ R definida por

f x = x 3 + x - 2 s e n 1 x - 2     s e   x < 2 ,   a                                                                                             s e   x = 2 , b x 2 - 4 x - 2                                                         s e   2 < x .

Encontre valores reais para a e b tais que a função f seja contínua em todos os pontos do seu domínio. Justifique a resposta.

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Questão 109

4. Defina a função f :   R →   R por

f x = 2 a x + x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2     s e   x < 2 12 π                                                                                                     s e   x = 2 b sin ⁡ π x - 2 π x - 2                                                         s e   x > 2

Sabendo que f é contínua em x = 2 , é correto afirmar que o valor do produto a b é:

  12 π       24 π       6 π       9 π       36 π       4 π       3 π       2 π

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Questão 110

Seja f : R ⟶ R uma função contínua tal que f 0 = f ( 2 ) e defina g : R ⟶ R   por g x = f x - f ( x - 1 ) . Considere as afirmações:

  • g não é contínua
  • g 1 + g 2 = 0
  • Existe a   ϵ   1,2 tal que f a = f a - 1
  • lim x ⟶ 0 ⁡ g e 4 x + g t g 2 x x = 0
  • g 1 = f 1 - f ( 2 )
  • Se f x = x ( x - 2 ) então g x = 2 x + 3

Então o número exato de afirmações incorretas é:

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4
  6. 5
  7. 6

Não é necessário justificativa.

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Questão 111

Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f x = 1 - t 1 - t 3 ,       s e   t ≠ 1 3 2 ,     s e   t = 1 em t = 1

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Questão 112

Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 0 f ( x )

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Questão 113

a Considere f contínua definida por:

f x = x 2 - 2 x - 24 x - 6 s e x < 6 a s e x = 6 x 11 - 216 x 8 - 1295 x 7 + 279720 x 4 - 1286 x 3 + 277776 x 3 - 216 s e x > 6

Determine lim x → 6 ⁡ f ( x ) . Qual o valor de a ?

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Questão 114

Considere a função

f x = e x + 1 ,                                                 x ≤ - 1 x 2 ,                                     - 1 < x < 1 1 + ln ⁡ x ,                                     x ≥ 1

( a ) Determine os pontos de continuidade de f

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Questão 115

Para a função f   definida por f x = - 2 - x , x < 1 a x + b , 1 ≤ x < 2 x 2 - 7 x + 12 , x ≥ 2

a) Determine os valores de a e b   para que f seja contínua em R .

b) Esboce o gráfico de f .

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Questão 116

29. Prove pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

a) f x = 4 x - 3 em p = 2

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Questão 117

29. Prove pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

c) f x = - 3 x em p = 1

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Questão 118

29. Prove pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

d) f x = x 3 em p = 2

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Questão 119

Encontre os valores de a e b , se possível, tais que a função

f x = x 2 + x - 1 , s e   x < 1 a x + b , s e   1 ≤ x ≤ 2 x 2 - 2 , s e   x > 2 ,

seja contínua para todo x . Justifique.

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Questão 120

Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f x = x ³ cos ⁡ 1 x ,       s e   x ≠ 0 1 ,     s e   x = 0 em x = 0

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Questão 121

Seja

responda justificando.

( a ) f ( x , y ) é contínua em ( 0,0 ) ?

( b ) f ( x , y ) possui derivadas parciais em ( 0,0 ) ? Caso afirmativo calcule-as.

( c ) f ( x , y ) é diferenciável em ( 0,0 ) ?

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Questão 122

Determine os valores de a   e   b que tornam a função abaixo contínua em toda parte

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Questão 123

Seja f a função definida por

f x = - 3 ,     s e   x < - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 ( x + 1 ) ( x - 2 ) x - 2 ,     s e   0 ≤ x < 3 4 ,       s e   x ≥ 3

d) f é contínua no intervalo fechado - 1 2 , 1 ? Justifique.

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Questão 124

Encontre valores apropriados para m e b de modo que a função

f x = x 2 ,     x < 1 m x + b ,     x ≥ 1

seja derivável em 1 e faça um esboço do gráfico de f .

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Questão 125

Considere

f x = x 2 + 2 ,     x < 1 2 x + 1 ,     x ≥ 1

Sem fazer cálculos é possível afirmar que f é contínua em 1 ?

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Questão 126

Considere

f x = x sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Verifique se f é contínua em 0 .

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Questão 127

Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

  1. Construa o gráfico de f ;

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Questão 128

Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 5 f ( x )

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Questão 129

Considere

f x = x 2 + 2 ,     x < 1 2 x + 1 ,     x ≥ 1

Verifique se f é derivável em 1 .

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Questão 130

Considere a função f : ℝ → ℝ dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 3 f ( x )

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Questão 131

Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

  1. Construa o gráfico de f ;

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Questão 132

Considere

f x = x sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Verifique se f é derivável em 0 .

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Questão 133

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f dada passando pelo ponto a ,   f a , caso elas existam.

(a) f x = x 2 + 2 x + 5 e a = 1

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Questão 134

Calcule (atenção: não é permitido usar derivadas no cálculo dos limites):

d)

d d x e 2 x ln ⁡ x + x tan ⁡ x

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Questão 135

Seja

f x = x sin ⁡ ( π x ) ,     x ≤ 2 x 2 + 1 cos ⁡ π x ,     x > 2

Verifique se f é contínua e diferenciável em x = 2 .

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Questão 136

Determine L para que a função f definida abaixo seja contínua em x = 0 .

f x = x 4 cos ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

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Questão 137

Determine a e b sabendo que a função

f x = x 2 - a x + 4 x + 4   s e   x < - 4 - x + b   s e   x ≥ - 4

é contínua.

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Questão 138

1. Quais das funções abaixo são contínuas em x 0 = 3 ? Justifique.

a) f x = x 2 - 5 x + 6 x - 3

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Questão 139

1. Quais das funções abaixo são contínuas em x 0 = 3 ? Justifique.

c) h x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x ≠ 3 6 ,     s e   x = 3

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Questão 140

1. Quais das funções abaixo são contínuas em x 0 = 3 ? Justifique.

d) k x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x < 3 x 2 - 2 x + 3 ,     s e   x ≥ 3

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Questão 141

Diga se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:

  1. A função

f x = 1 - x 2 ,   x < - 1 ln ⁡ 2 - x 2 ,   - 1 ≤ x ≤ 1 x - 1 x + 1 ,   x > 1

É contínua ∀ x ∈ R .

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Questão 142

Calcule os valores possíveis para c para que a função

f x = 1 - x 1 - x 3 ,     x ≠ 1 c 2 ,     x = 1

Seja contínua ∀ x ∈ R .

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Questão 143

Defina se f é contínua em a

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Questão 144

De o domínio da função

f ( x   ) = e x ² + 9 + x 5

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Questão 145

1. Quais das funções abaixo são contínuas em x 0 = 3 ? Justifique.

b) g x = x 2 - 3 x x - 3 ,     s e   x ≠ 3 5 ,     s e   x = 3

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Questão 146

12) Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

f x =   x - 1 x - 1       ,         x ≠ 1   2                       ,       x = 1 em x = 1

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Questão 147

15a) Para a função f definida por:

f x =   - 2 - x                                                   ,                                             x < 1 a x + b                                                           ,               1 ≤ x <   2           x 2 - 7 x + 12                             ,                                           x ≥ 2

Determine os valores de a e b para que f seja contínua em R

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Questão 148

11c) Seja f definida por f x =   x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3               s e     x ≠ - 3 ,   x ≠ - 1 0                                     s e   x =   - 3 - 1 2                             s e   x =   - 1

Dê os pontos onde f é descontínua. Justifique.

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Questão 149

  1. Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz as condições do enunciado.

a) f é contínua em todos os pontos, exceto em x = 3 , onde o limite pela direita existe e é igual a f ( 3 ) .

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Questão 150

11d) Seja f definida por f x =   x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3               s e     x ≠ - 3 ,   x ≠ - 1 0                                     s e   x =   - 3 - 1 2                             s e   x =   - 1

A função f é contínua em R ? Justifique.

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Questão 151

11b) Seja f definida por f x =   x 3 + 2 x 2 + x x 3 + 5 x 2 + 7 x + 3               s e     x ≠ - 3 ,   x ≠ - 1 0                                     s e   x =   - 3 - 1 2                             s e   x =   - 1

Dê os pontos onde f é contínua. Justifique.

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Questão 152

3) Considere a função f : R → R definida por

f x = x - 1 6 x - 1 ,     s e   x ≠ 1 1 ,     s e   x = 1

Verifique que lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x . Então f é contínua em R ? Justifique.

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Questão 153

23) Seja f   : R → R , tal que x s e n x ≤ f x ≤ x 2 cos 2 ⁡ x , ∀   x ∈ - π 2 , π 2 . Verifique se f é contínua em x = 0 .

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Questão 154

29. Prove pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

b) f x = x + 1 em p = 2

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Questão 155

20) Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f x =   x 3 ⋅ cos ⁡ 1 x             s e         x ≠ 0 1                                                 s e       x = 0

Em x =     0 .

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Questão 156

Seja f a função definida por

f x = - 3 ,     s e   x < - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 ( x + 1 ) ( x - 2 ) x - 2 ,     s e   0 ≤ x < 3 4 ,       s e   x ≥ 3

d) f é contínua no intervalo fechado - 1 2 , 1 ? Justifique.

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Questão 157

Seja f a função definida por

f x = - 3 ,     s e   x < - 1 x 2 + 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 ( x + 1 ) ( x - 2 ) x - 2 ,     s e   0 ≤ x < 3 4 ,       s e   x ≥ 3

c) f é contínua em x = - 1 ? E em x = 2 ? Justifique.

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Questão 158

Seja f: ⵏR ⟶ ⵏR definida por f ( x ) = { x 2 - 1 ,   s e   | x | ≤ 1 ;   1 - x 2 ,   s e   | x | > 1 .

(b) verifique se f ( x ) é contínua nos pontos -1 e 1?

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Questão 159

2 – Dada a função f : R → R definida por

f x = 2 x + c ,     s e   x ≤ 1 x 2 + 3 x ,     s e   x > 1

Determine o valor de c para o qual f é contínua.

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Questão 160

Determine onde cada uma das seguintes funções é descontínua:

f ( x ) = ( 1 - x ) / x 2   s e   x ≠ 0

1 , �� s e   x = 0

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Questão 161

Determine onde cada uma das seguintes funções é descontínua:

f ( x ) = ( x 2 - x - 2 ) / ( x - 2 )   s e   x ≠ 2

1 ,   s e   x = 2

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Questão 162

Determine os pontos que

f ( x ) = ( l n ( x ) + a r c t a n ( x ) ) / ( x 2 - 9 )

é contínua, e classifique suas descontinuidades.

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Questão 163

  1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam continuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.

f x = 1 + x 2 ,   s e   x ≤ 0 b + x ,   s e   0 < x ≤ a x - a + c ,   s e   x > a

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Questão 164

  1. Determine, caso possível, as constantes a ,   b ∈ R tais que f ( x ) seja contínua em x = 0 .

    2. f x = x + a 2 - 4 a - arctan ⁡ 11 x ,       x < 0 a - 1 ,                                         x = 0 sin ⁡ b x ln ⁡ 1 + 100 x ,       x > 0

  2. Encontre a equação da reta normal à curva y = 2 x - 3 e paralela à reta 9 x + 3 y - 5 = 0

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Questão 165

  1. Seja f x = | x | se x for racional, e f x = 0 se x for irracional. Verifique se f é contínua em x = 0 .
  2. Considere a função f x = a 1 + a 2 cos ⁡ 2 x + a 3 cos ⁡ 4 x , onde a 1 ,   a 2 ,   a 3 são números reais. Sabendo que f 0 = f ' 0 = f ' ' 0 = f ' ' ' 0 e f π 2 = 1 , determine a 1 ,   a 2 ,   a 3 .

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Questão 166

Considere a função

f x = x 2 - 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 2 x ,     s e   0 < x < 1 1 ,     s e   x = 1 - 2 x + 4 ,     s e   1 < x < 2 0 ,     s e   2 < x < 3

Responda:

  1. Existe f ( - 1 ) ?
  2. Existe lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) ?
  3. lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = f ( - 1 ) ?
  4. f ( x ) é contínua em x = - 1 ?
  5. Existe f ( 1 ) ?
  6. Existe lim x → 1 ⁡ f ( x ) ?
  7. lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 ) ?
  8. f ( x ) é contínua em x = 1 ?

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Questão 167

7. Dada a função f x = x 3 cos ⁡ 1 x ,     s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Mostre que:

b) f ' é continua.

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Questão 168

Verifique a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados. No caso de descontinuidade, classifique-a.

g x = x - x x ,     s e   x ≠ 0 0 ,                                           s e   x = 0             x = 0

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Questão 169

Determine m ,   n ∈ R de modo que f x = - x 2 + n x - 3 x 3 - 27 ,           s e   x < 3 1 - m x + 1 x 3 ,           s e   x ≥ 3 seja contínua em x = 3 .

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Questão 170

22) Verifique se existe a ∈ R tal que f x =   1 + a x             ,     x ≤ 0   x 4 + 2 a       ,       x > 0 seja contínua em R .

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Questão 171

7 – Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua:

b) g x = 1 x + 1 , s e   x > - 1 1 s e   x = - 1 x + 1 s e   x < - 1

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Questão 172

7 – Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua:

c) h x = x - 3 , s e   x ≠ 3 2 , s e   x = 3

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Questão 173

Determine o valor de A para que a função f x seja contínua, com: f x = A x - 2 , x ≤ 0 - e x e x + 1 x > 0

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Questão 174

  1. Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz as condições do enunciado.

b) f tem limite em x = 3 , mas não é contínua nesse ponto.

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Questão 175

Determine a ,   b   ∈   R tal que a função f x = - 2 - x       s e   s e   x   <   1 , a x + b       s e   1   ≤   x   <   2 ,   x 2 - 7 x + 12     s e   x   ≥   2 ,   , seja contínua.

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Questão 176

  1. Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz as condições do enunciado.

c) f não é contínua em x = 3 , mas torna-se contínua se seu valor em x = 3 for mudado para f 3 = 0 .

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Questão 177

  1. Em cada item abaixo, esboce o gráfico de uma função f que satisfaz as condições do enunciado.

d) f é contínua no intervalo 0,3 , está definida em 0,3 mas não é contínua em 0,3 .

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Questão 178

Sabe-se que lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5 e f está definida em R . Todas as afirmações abaixo são falsas. Desenhe um contra-exemplo para cada uma delas.

a) f ( x )   >   0 para x   ∈   ( 1 ,   3 )

b)   f 2 = 5

c) f ( 2 ) é positivo

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Questão 179

  1. Dizemos que f tem uma descontinuidade removível no ponto x   =   a quando existe o limite lim x → a ⁡ f x mas f não é contínua ou não está definida neste ponto. Este é o caso da função f x = x 2     -   1 x   –   1     que não está definida em x   =   1 , mas satisfaz lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 = 2   Note que podemos incluir o ponto x = 1 no domínio fazendo f ( 1 )   =   2 . Com essa definição, a (nova) função f ´é contínua em x   =   1 . Para cada uma das funções abaixo, determine os (possíveis) pontos de descontinuidade removível.
    1. f x = x 2 + 3 x x + 3

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Questão 180

Decida se as funções

f ( x ) x 3 cos ⁡ 1 x   s e   x ≠ 0 1   s e   x = 0

g ( x ) x - 1 x - 1   s e   x   ∈   [ 0 ,   1 )   ∪   ( 1 ,   + ∞ ) 1 / 2   s e   x = 1

são contínuas no ponto x = 0. Repita o exercício para x = 1.

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Questão 181

  1. Lembrando que lim x → 0 ⁡ s e n x = 0 e lim x → 0 ⁡ c o s x = 1 , verifique que lim θ → 0 ⁡ s e n θ + a = s e n ( a ) . Conclua daí que a função seno é contínua

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Questão 182

Considere

Verifique se f �� contínua em 1

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Questão 183

Determine para quais valores de a função f definida abaixo é contínua em x = 1 .

f x = x 2 + a x ,   s e   x ≤ 1 a 2 x 2 - 1 ,   s e   x > 1

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Questão 184

Use o mesmo raciocínio do exercício anterior para verificar que a função cosseno também é contínua. O que se pode dizer sobre a continuidade das demais funções trigonométricas?

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Questão 185

A função maior inteiro é a função que associa, a cada elemento x   ∈   R , o valor [ [ x ] ] que é o maior número inteiro que é menor ou igual a x . Por exemplo,

[ [ 0 ,   5 ] ]   =   0 ,   [ [ 3 ] ]   =   3 ,   [ [ - 1 ,   8 ] ]   =   - 2 .

a) Calcule [ [ 3 ,   7 ] ] ,   [ [ - 0 ,   6 ] ] ,   [ [ n ] ] com n   ∈   N

(b) Estude os limites laterais da função maior inteiro no ponto x   =   2 . Em seguida, decida se ela é contínua neste ponto

(c) Determine todos os pontos onde a função não é contínua

(d) Faça um esboço do gráfico da função

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Questão 186

Mostre que o polinômio p x =   x 6 - 7 x 3 + 2 x 2 + 3 possui pelo menos uma raíz real.

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Questão 187

Q03a) Seja f : I R → I R dada por

f x = 4 x 2 + 3   ,     x ≥ 1 8 x - 2 ,     x < 1

A função f é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta

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Questão 188

Determine o valor de c de forma que f seja contínua em R

f x = x 2 + 2 ,   s e   x ≤ 1 c x + 1 ,   s e > 1

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Questão 189

7 – Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua:

d) i x = 1 x - 5 , s e   x ≠ 5 0 , s e   x = 5

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Questão 190

Seja f : R → R uma função contínua. Dois pontos de seu gráfico estão marcados no plano cartesiano abaixo. É possível garantir que existe x ∈ R tal que f x = 2 x ? Justifique.

Atenção: As intersecções da malha são os pontos de coordenadas n , m ,   n ,   m naturais. O ponto A está ligeiramente acima do ponto ( 3,6 ) e o ponto B está ligeiramente abaixo do ponto ( 4,8 ) .

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Questão 191

Determine valores para a , b ∈ R para que a função definida abaixo seja contínua em R . Justifique muito bem sua resposta:

f x =   b c o s x 2 x ,                       s e   x < 0 0 ,                                                     s e   x = 0 3 - s e n a x x ,           s e   x > 0

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Questão 192

Seja f uma função definida em ℝ e suponha que exista uma constante M > 0 tal que

| f ( x ) - f ( p ) | ≤ M | x - p | 2 ,

para todo x ∈ ℝ .

( a ) Prove que f é contínua em p .

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Questão 193

7.5 Explique por que a função é descontínua no ponto indicado, em seguida, esboce o gráfico da função, nos seguintes casos.

a) f x = e x ,     s e   x < 0 x 2 ,       s e   x ≥ 0 ponto a = 0 .

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Questão 194

7.5 Explique por que a função é descontínua no ponto indicado, em seguida, esboce o gráfico da função, nos seguintes casos.

b) f x = x 2 - x x 2 - 1 ,     s e   x ≠ 1 1 ,       s e   x = 1 ponto a = 1 .

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Questão 195

8.1 Determine o valor da constante a de modo que seja contínua a função dada por

f x = a 3 x 3 + 2 ,       s e   x < 1 a x + 8 ,       s e   x ≥ 1

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Questão 196

Para cada uma das funções seguintes determine o(s) valor(es) de x para o(s) qual(quais) a função é descontínua. identifique o(s) tipo(s) de descontinuidade(s). Nos casos possíveis, encontra uma nova definição para a função de modo a remover qualquer (quaisquer) descontinuidade(s) removível (removíveis).

( c )   h ( x ) = e x + 4 x 3 e 4 x - 3

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Questão 197

8.2 Determine onde cada uma das funções é descontínua:

a) f x = x 2 - x - 2 x - 2

Em seguida, classifique essas descontinuidades.

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Questão 198

Para cada uma das funções seguintes determine o(s) valor(es) de x para o(s) qual(quais) a função é descontínua. identifique o(s) tipo(s) de descontinuidade(s). Nos casos possíveis, encontra uma nova definição para a função de modo a remover qualquer (quaisquer) descontinuidade(s) removível (removíveis).

( a )   f ( x ) = ( x - 1 ) 2 ( x - 1 ) ( x 2 - 4 x + 5 )

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Questão 199

Para cada uma das funções seguintes determine o(s) valor(es) de x para o(s) qual(quais) a função é descontínua. identifique o(s) tipo(s) de descontinuidade(s). Nos casos possíveis, encontra uma nova definição para a função de modo a remover qualquer (quaisquer) descontinuidade(s) removível (removíveis).

( b )   f ( x ) = x - 2 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 10 )

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Questão 200

Sabendo que lim u → 0 ⁡ sin ⁡ ( u ) u = 1 , obtenha o valor de a para que a função f ( x ,   y ) seja contínua

f x ,   y = sin ⁡ ( x 2 - y 2 ) x + y ,     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) a ,                                                               s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

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Questão 201

Mostre que f ( x ) = x + 1 x é contínua para todo x > 0 .

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Questão 202

Estude a continuidade da função

f ( x ) = x 2 - 7 x + 1 x 2 - 9

O que acontece quando x → ± 3 ?

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Questão 203

30. Prove que f x = 1 x é contínua para todo p ≠ 0 .

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Questão 204

31. A função

f x = 2 x   s e   x ≤ 1 1   s e   x > 1

É contínua em 1? Justifique.

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Questão 205

Considere a função f : R → R   dada por

  1. Construa o gráfico de f ;

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Questão 206

Determine, se existirem, valores de a ,   b para os quais a função abaixo seja contínua:

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Questão 207

4. Seja

f x = f x = x 2 - x - 2 x - 2 ,     x ≠ 2 c ,     x = 2

b. A função f possui assíntotas verticais? Justifique!

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Questão 208

4. Seja

f x = f x = x 2 - x - 2 x - 2 ,     x ≠ 2 c ,     x = 2

  1. Determine um valor para constante c de forma que a função f seja contínua em R .

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Questão 209

1. Use a continuidade para calcular o limite seguintes:

a) lim x → 3 ⁡ e x 2 - x

b) lim x → 2 ⁡ a r c t g x 2 - 4 3 x 2 - 6 x

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Questão 210

  1. Dizemos que f tem uma descontinuidade removível no ponto x   =   a quando existe o limite lim x → a ⁡ f x mas f não contínua ou não está definida neste ponto. Este é o caso da função f x = x 2     -   1 x   –   1     que não está definida em x   =   1 , mas satisfaz lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 = 2   Note que podemos incluir o ponto x = 1 no domínio fazendo f ( 1 )   =   2 . Com essa definição, a (nova) função f   ´é contínua em x   =   1 . Para cada uma das funções abaixo, determine os (possíveis) pontos de descontinuidade removível.

b. f x = x | x |

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Questão 211

  1. Dizemos que f tem uma descontinuidade removível no ponto x   =   a quando existe o limite lim x → a ⁡ f x mas f não contínua ou não está definida neste ponto. Este é o caso da função f x = x 2     -   1 x   –   1     que não está definida em x   =   1 , mas satisfaz lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 = 2   Note que podemos incluir o ponto x = 1 no domínio fazendo f ( 1 )   =   2 . Com essa definição, a (nova) função f   ´é contínua em x   =   1 . Para cada uma das funções abaixo, determine os (possíveis) pontos de descontinuidade removível.

c. f x = 5 ∙ s e n ( x ) x

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Questão 212

Mostre que a função

é contínua na origem.

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Questão 213

A função f ( x ) = | x | é contínua em todos os seus pontos (prove!).

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Questão 214

  1. Dizemos que f tem uma descontinuidade removível no ponto x   =   a quando existe o limite lim x → a ⁡ f x mas f não contínua ou não está definida neste ponto. Este é o caso da função f x = x 2     -   1 x   –   1     que não está definida em x   =   1 , mas satisfaz lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 = 2   Note que podemos incluir o ponto x = 1 no domínio fazendo f ( 1 )   =   2 . Com essa definição, a (nova) função f ´é contínua em x   =   1 . Para cada uma das funções abaixo, determine os (possíveis) pontos de descontinuidade removível.

d. f x = x 2 - 1 x 3 - 1

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Questão 215

Mostre que a função abaixo não é contínua na origem (tente procurar um δ e veja o que acontece)

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Questão 216

Seja f ( x ) uma função e suponha que para todo x ∈ R , f ( x ) ≤ x 2 . Calcule lim x → 0 ⁡ f ( x ) . A função é contínua na origem?

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Questão 217

Seja a função

Determine os valores de a   e   b para que a função seja contínua

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Questão 218

21) Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f t =   1 - t 1 - ∛ t                 ,       s e   t ≠ 1 3 2                                         ,       s e   t = 1

Em t = 1 .

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Questão 219

Sejam f , g : A ⊆ R → R com lim x → p ⁡ f x = 0 e g ( x ) ≤ M para todo x ∈ A , M fixado. Mostre que lim x → p ⁡ f x g ( x ) = 0 .

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Questão 220

Seja

f x = x + 1 ,     x ≥ 1 2 x ,     x < 1

b) Existe lim x → 1 ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1 ?

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Questão 221

Seja

f x = x + 1 ,     x ≥ 1 2 x ,     x < 1

a) A função f ( x ) é contínua em x = 1 ?

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Questão 222

Qual a semelhança entre o gráfico de

f x = x + 1 ,     x ≥ 1 2 x ,     x < 1

E o pato?

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Questão 223

Seja f : R → R , tal que x 2 cos ² ⁡ x ≤ f x ≤ x sen ⁡ x , ∀ x ∈ - π 2 , π 2 . Verifique se f é contínua em x = 0 .

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Questão 224

Determina a , b para que a função

f x =   a x + 2   ,                                         x > 1 x 2 - 4 x + 1   ,     x < 1 b   ,                                                           x = 1

seja contínua.

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Questão 225

Seja f ( x ) uma função tal que para todo x ≠ 0 temos

cos ⁡ ( x ) - 1 ≤ f x ≤ x 4 + x 2

Calcule lim x → 0 ⁡ f ( x ) . Mostre que se f for contínua então f 0 = 0 .

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Questão 226

Seja

h x = x + 2 + x - 2 x

a ) Determine o domínio de h ( x ) e escreva a expressão da função sem usar módulo. Verifique se a função é par ou ímpar, ou injetora. Justifique sua resposta provando ou dando contra-exemplo.

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Questão 227

Dê condições suficientes e necessárias sobre α e β para que a função

f x =   α x - β   ,     x ≤ 1 , 3 x   ,     1 < x < 2 , β x 2 - α   ,     x ≥ 2

seja contínua.

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Questão 228

Seja

f x = x 5 + 4 x 5 + x 3 + x + 2 ,   x ≥ 0 β cos ⁡ x ,   x < 0

  1. Existe algum valor de β que torna f é contínua em x = 0 ? Justifique sua resposta

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Questão 229

Considere as funções abaixo e determine se são contínuas para o valor de x dado.

f x = x + 2 x + 1                       p a r a   x = 1

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Questão 230

Considere as funções abaixo e determine se são contínuas para o valor de x dado.

f x = s e n ( π )                   p a r a   x = 2

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Questão 231

A função f é contínua em x   =   2 ? Justifique sua resposta.

f ( x ) = 5 x + 2 2 x - 1   s e   x ≥ 2

= 10 x - 3   s e   x < 2

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Questão 232

Encontre o domínio das seguintes funções:

d) p x = 1 x 2 - 4 + 3 x 2 + 1 3 - x

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Questão 233

Seja f a função definida por:

f x = x + 2 ,     s e   x < - 2 x 2 + x - 2 ,     s e - 2 ≤ x ≤ 1 4           ,     s e   x > 1

Determine o domínio de f , esboce seu gráfico e determine sua imagem, I m ( f ) .

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Questão 234

Encontre o domínio das seguintes funções:

a) f x = - 4 x 3 - 1 2 x 2 - 3 x + 2022

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Questão 235

Encontre o domínio das seguintes funções:

b) g x = 3 x 2 - 5 x + 7 x 2 - 9

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Questão 236

Para que a função f : R → R seja contínua em R , o valor de m n deve ser:

f x = 3 x 2 - 7 x + 2 ,   s e   x > 1 m x + n ,   s e - 1 ≤ x ≤ 1 s e n π x 2 ,   s e   x < - 1

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Questão 237

  1. Estude, em função dos valores α ∈ R , a continuidade da função f : R 2 → R ,   dada por

    2. f x , y = x 4 + 2 x 2 y 2 + α y 4 cos ⁡ x 2 + α y 2 - 1 ,         x , y ≠ ( 0,0 ) - 2 α ,         x , y = ( 0,0 )

  2. Analise a diferenciabilidade de f ( x , y ) em ( 0,0 ) para os casos de α = 0 e α = 1 .

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Questão 238

Para cada gráfico da figura 1.3 , determine se a função traçada é contínua no intervalo - 1,3 . Se não for contínua, aponte onde ela deixa de ser contínua e diga qual o tipo de descontinuidade em questão.

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Questão 239

Observando o gráfico de f ( x ) na figura abaixo, determine se a função é contínua ou descontínua em cada um dos seguintes valores de x

  1. x = - 1
  2. x = - 4
  3. x = - 3
  4. x = 3
  5. x = 4

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Questão 240

1.3 , determine se a função traçada é contínua no intervalo - 1,3 . Se não for contínua, aponte onde ela deixa de ser contínua e diga qual o tipo de descontinuidade em questão.

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Questão 241

Para cada gráfico da figura 1.3 , determine se a função traçada é contínua no intervalo - 1,3 . Se não for contínua, aponte onde ela deixa de ser contínua e diga qual o tipo de descontinuidade em questão.

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Questão 242

Determine se as seguintes funções são contínuas em D ( f ) :

c )   h x = x 2 - 9 x - 3 ,     s e   x ≠ 3 6 ,     s e   x = 3  

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Questão 243

Para cada gráfico da figura 1.3 , determine se a função traçada é contínua no intervalo - 1,3 . Se não for contínua, aponte onde ela deixa de ser contínua e diga qual o tipo de descontinuidade em questão.

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Questão 244

Determine os possíveis valores de a e b que tornam contínuas as funções abaixo.

f x = a x 2 + 2 x           s e   x < 2 x 3 - a x                 s e   x ≤ 2

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Questão 245

Determine, se existirem, os valores de x para os quais cada uma das seguintes funções é descontínua

a )   f x = 3 - x ,         s e   x < 1 4 ,                     s e   x = 1 x 2 + 1 ,     s e   x > 1

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Questão 246

Determine L para que a função f definida abaixo seja contínua em x = 5 .

f x = x - 5 x + 5 - 10 ,   s e   x ≠ 5 L ,   s e   x = 5

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Questão 247

Determine os possíveis valores de a e b que tornam contínuas as funções abaixo.

f x = x 2 - 4 x - 2           s e   x < 2 , a x 2 - b x + 3         s e   2 ≤ x < 3 , 2 x - a + b           s e   x ≥ 3 .

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Questão 248

A função

f ( x ) = x 2 s i n ( 1 / x )   s e   x ≠ 0

e

= 0   s e   x = 0

é da classe C 2

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Questão 249

Para cada afirmação, assinale V se ela for verdadeira, ou F se ela for falsa

( ) Toda função polinomial é contínua em R

( ) Se f x for contínua em a , então lim x → a ⁡ f x = f a

( ) Para uma função f ( x ) , se D f = R , então f é contínua em toda parte

( ) Toda função racional possui descontinuidade onde o denominador é zero

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Questão 250

4.6. A função

k x = x 2 + 1 ,     x ∈ Q x + 1 ,     x ∈ R / Q

é contínua em apenas dois pontos.

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Questão 251

4.7. Em quais pontos a função

k x = cos ⁡ x ,     x ∈ Q s e n x ,     x ∈ R / Q

é contínua?

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Questão 252

Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo

a ) f x = sin ⁡ x 2 - 4 + 5 ,   s e   x > 2 x 2 + x - 6 x - 2 ,   s e   x < 2 5 ,   s e   x = 2

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Questão 253

Encontre o domínio das seguintes funções:

c) h x = x 2 - 4 x + 3

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Questão 254

Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

b) g x , y =   x 2 - y 2 x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                         s e   x , y = ( 0,0 )

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Questão 255

Determine os possíveis valores de a, b e c que tornam contínuas as funções abaixo.

f x = 1 + x 2         s e   x ≤ 0 b + x       s e   0 < x ≤ a x - a + c         s e   x > a

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Questão 256

Encontre os pontos onde há descontinuidade no gráfico

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Questão 257

Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

a) f x ,   y ,   z = 1 x 2 + y 2 + z 2

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Questão 258

Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

b) f x ,   y ,   z = z x 2 + y 2 - 4

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Questão 259

Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

c) f x ,   y ,   z = sin ⁡ z e x + e y

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Questão 260

Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

d) f x ,   y ,   z = x y sin ⁡ ( z )

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Questão 261

Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

e) f x ,   y = sin ⁡ x y x y ,     x y ≠ 0 1 ,                         x y = 0

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Questão 262

Considere as funções abaixo e determine se são contínuas para o valor de x dado.

f x = k                       p a r a   x = 5

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Questão 263

Considere as funções abaixo e determine se são contínuas para o valor de x dado.

f x = x 2 + x ,       s e   x < 1 3 ,                         s e   x = 1 x 2 - 1 x + 1 ,       s e   x > 1 ;                   p a r a   x = 1

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Questão 264

2. Seja f uma função contínua (isto é, contínua em todos os pontos do seu domínio). Sabe-se que f 0 = 3 , f 2 = 0 e f 3 = - 2 . Calcule os limites de lim x → 0 ⁡ f ( x ) , lim x → 2 - ⁡ f ( x ) e lim x → 3 + ⁡ f ( x )

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Questão 265

3. Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é contínua em seu domínio.

  1. f x = x 2 - 3 x + 4 e x
  2. f x = 2 sin ⁡ x - x 2 - 9 x - 3

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Questão 266

5. Sejam a e b números reais tais que a função

f x = x 3 - a x 2 + b x x + 5 15 ,     x = - 5 ,     x ≠ - 5

É contínua. Calcule f 6 .

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Questão 267

2. Calcule o valor de α ∈ R para que a função f seja contínua em x = 0 , onde

f x = tan ⁡ x - sin ⁡ x x 5 + 4 x 3 ,   s e   x ≠ 0 α   ,   s e   x = 0

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Questão 268

  1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam continuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.

f x = sin ⁡ ( b x + b ) a x + a ,   s e   x < - 1 3 x + 1 ,   s e - 1 ≤ x ≤ 0 a ln ⁡ x + e x + 1 ,   s e   x ≥ 0

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Questão 269

Determine os valores das constantes a e b para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ - 3 ,   3 ] .

f x = a ,     x = - 3 9 - x 2 4 - x 2 + 7 ,   - 3 < x < 3 b ,     x = 3

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Questão 270

Dada a função f x = 2 - x 2 + 7 3 x 3 - 1 para x ≠ 1 , defina o valor de g ( 1 ) para que a função g seja contínua em x = 1 , se g x = f ( x ) para x ≠ 1 .

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Questão 271

Determine os valores de a e b para que a função f , dada abaixo, seja contínua em R .

f x = x 4 ,     x ≤ - 1 a x + b ,   - 1 < x < 2 x 2 + 3 ,     x ≥ 2

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Questão 272

Determine a   ∈   R tal que a função

f ( x ) 1 + a x             s e   x ≤ 0 , x 4 + 2 a         s e   x > 0 ,

Seja contínua em x   =   0 .

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Questão 273

Seja f a função definida por:

f x =   x 2 - a x + 3 x - 1 ,       s e   x < 1 b x + 1 ,       s e   x ≥ 1

Determine os valores de a e b para que f seja contínua.

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Questão 274

Determine um valor para a constante k , se possível, que torna a função

f x = k x 2 ,       s e   x ≤ 2 2 x + k ,       s e   x > 2

contínua

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Questão 275

Encontre L tal que a função abaixo seja contínua em x = - 1

f x = L + e x + 1 cos ⁡ x + 1   ,     s e   x ≥ - 1 3 x 3 + 3 x + 2   ,     s e   x < - 1

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Questão 276

Seja f   : R   →   R , tal que:

x 2 c o s 2 ( x )   ≤   f ( x )   ≤   x   s e n ( x )

Para todo x ∈ ( - π / 2 , π / 2 ).

Mostre que f é contínua em x   =   0  

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Questão 277

Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ 0 ,   + ∞ ) .

f x = x 2 + 16 - 5 4 - x 2 + 7 ,     x > 0   e   x ≠ 3 c ,     x = 3

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Questão 278

Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em x = 0 .

f x = 1 - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x ,         x ≠ 0 c ,     x = 0

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Questão 279

Encontre os valores de a , b e c para que os gráficos das funções definidas por f ( x )   =   x ²   +   a x +   b e g ( x )   =     x 3 -   2 x 2 3   +   c se interceptem no ponto ( 1,2 ) e tenham a mesma reta tangente neste ponto.

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Questão 280

Determine, se existir, o valor L ∈ R para que cada uma das funções abaixo seja contínua

a ) f x = sin ⁡ x 2 + 2 - sin ⁡ ( x + 2 ) x ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

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Questão 281

Determine, se existir, o valor L ∈ R para que cada uma das funções abaixo sejam contínuas

b ) f x = x 8 + x 4 x 2 ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

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Questão 282

Sejam f , g : R → R tais que:

(i) f é contínua em x = 0 e

(ii) g é descontínua em x = 0.

Pode-se concluir corretamente que é descontínua em x = 0 a função:

a. f + g; b. f g; c. f ◦ g; d. g ◦ f ; e. |g|.

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Questão 283

Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo

b ) f x = x 2 - 4 x + 3 x - 3 ,   s e   x ≠ 3 1 ,   s e   x = 3

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Questão 284

Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo

c ) f x = 1 + - 1 x 2 sin ⁡ π x ,   o n d e   x   é   o   m a i o r   i n t e i r o   m e n o r   o u   i g u a l   a   x

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Questão 285

Seja f : R → R a função dada por f(x) = { x 2 , se x ∈ Q; x 3 , se x ∈ R \ Q.

O conjunto descontinuidades de f é: a. ∅; b. Q; c. R \ Q; d. R \ {0}; e. R.

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Questão 286

Para que a função f ( x )   = {         | x   2   +   2 x   −   3 | x - 1   , se x   <   1 ; x �� +   k , se x   ≥   1 . seja contínua em R o valor da constante k deve ser:

a. −7; b. 1; c. 3; d. −1; e. −5.

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Questão 287

Construa uma função f : R → R que é contínua em um único ponto.

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Questão 288

Construa uma função f : R → R que é contínua somente em dois pontos.

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Questão 289

Seja f uma função real tal que |   f ( x ) |   ≤   |   s i n ( x ) | para todo x   ∈   R . Então

a. f pode ser descontínua em x = 0 ;

b. f é contínua em x = 0 , mas pode não ser derivável em x = 0 ;

c. f é derivável em x = 0 e   f   ′   ( 0 )   = 0 ;

d. f é derivável em x = 0 e   f   ′   ( 0 )   = 1 ;

e. f é derivável em x = 0 mas podemos apenas afirmar que − 1   ≤   f   ′   ( 0 )   ≤ 1 .

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Questão 290

Sabendo que f   :   R   →   R é derivável em a   ∈ ] 0 ,   + ∞ [ , calcule l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a em termos de f   ′ ( a ) .

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Questão 291

Existe um valor α tal que a função f ( x )

g ( x ) = 1 - 1 + A x B x 1 + A x

seja contínua em x = 0 ?

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Questão 292

Considere a função f(x) = x|x|. Decida se f é derivável em x 0 = 0 e calcule f′(0) em caso afirmativo.

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Questão 293

Dê um exemplo com duas funções f e g tais que f seja contínua em x = 0 , g seja descontínua em x = 0 e no entanto f . g seja contínua em x = 0 .

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Questão 294

Definia se f é contínua em a

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Questão 295

Responda as seguintes perguntas (justifique suas respostas):

  1. Será que a equação x 3 + e x - 1 4 = 0 tem solução real?

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Questão 296

Dada f ( x , y ) =   0 ,   s e   ( x , y )   =   ( 0,0 ) ; e f ( x , y ) = 2 x y 2 x ² + 2 y ²

  1. Determine se f é contínua na origem.

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Questão 297

41. Seja f x = x 5 + x + 1 . Justifique a afirmação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo - 1,0 .

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Questão 298

Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ 0 ,   + ∞ ) .

f x = x + x - 2 x - 1 ,     0 < x < 1 c x + 5 x 2 + 3 ,     x ≥ 1 .

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Questão 299

Determine os pontos de descontinuidade da função a seguir

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Questão 300

2) Seja

h t = t - 2 d 3 , s e   t < 0 ; c - d cos ⁡ t , s e   0 ≤ t ≤ π / 2   ; d sen ⁡ t + 2 , s e   t > π / 2 .

Determine os valores de c e d para os quais h é contínua.

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Questão 301

Determine o valor da constante c para que a função f , dada abaixo, seja contínua em [ 2 ,   + ∞ ) .

f x = x 2 - 4 x 2 - 3 x + 2 ,     x > 2 c ,     x = 2

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Questão 302

De o domínio da função

f ( x   ) = l n ( x + 4 ) + x 3

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Questão 303

De o domínio da função

x ² + x - 6 x ² - 2 x

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Questão 304

De o domínio da função

f ( x   ) = x ² + 3 x + 2

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Questão 305

Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.

a. Se f : R → R é tal que | f | é contínua em x = 0, então f é contínua em x = 0.

b. Se f e g são funções descontínuas em x = 0, então a função f g é descontínua em x = 0.

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Questão 306

Seja f ( x )   =     x 3 s i n ( 1 | x | ) | x | , se x ≠   0 ; 0, se x   =   0 .

Em x 0   =   0 pode-se afirmar que f é

a. descontínua;

b. derivável e f   ′   ( 0 )   =   1 ;

c. contínua mas não derivável;

d. derivável e f   ′   ( 0 )   =   0 ;

e. derivável e f   ′   ( 0 )   = - 1 .

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Questão 307

Suponha que f : 0,1 → R é contínua e que 0 ≤ f x ≤ 1 , para todo x ∈ 0,1 . Prove que existe c ∈ 0,1 tal que f c = c .

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Questão 308

Considere as seguintes afirmações:

I . Se g é limitada e lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞ , então lim x → + ∞ ⁡ g x f ( x ) = + ∞ .

I I . Se f : R → R é uma função tal que f x - f ( y ) ≤ x - y 2 então, f é derivável.

I I I . Se g : R → R é descontínua em x 0 e limitada então, f x = x g x sin ⁡ ( x ) é derivável em x 0 = 0 .

São corretas

a. nenhuma das afirmações;

b. todas as afirmações;

c. somente as afirmações I e I I ;

d. somente as afirmações I e I I I ;

e. somente as afirmações I I e I I I .

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Questão 309

Suponha que f : 0,1 → R é contínua, f 0 = 1 e f x é um número racional para todo o x ∈ 0,1 . Prove que f x = 1 , para todo x ∈ 0,1 .

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Questão 310

Determine L para que a função seja contínua no ponto dado. Justifique.

em p = 2

em p = 0

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Questão 311

Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique porquê.

e) A função é contínua em x = 0 ?

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Questão 312

Seja f : R → R , tal que:

f x = x 2 - 2 ,     x ≤ 4 8 x ,     x > 4

Calcule, caso exista, lim x → 4 ⁡ f x - f 4 x - 4 . Essa função é contínua em x = 4 ?

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Questão 313

Considere a função f : R → R dada por f x = e - 1 / x 2   ,     s e   x ≠ 0 0                             s e   x = 0

a) Mostre que f é contínua em x = 0 .

b) Decida se f é derivável em x = 0 . Em caso afirmativo, calcule f ' ( 0 ) .

c) Esboce, no sistema de coordenadas abaixo, o gráfico de f , determinando os intervalos de crescimento, concavidade e limites necessários.

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Questão 314

Seja g uma função contínua no intervalo [ - 1 ,   2 ] e derivável em ] - 1 ,   2 [ , que assume os valores

g - 1 = 0                 g 0 = 4                 g 1 = 2               g 2 = 2

Considere as afirmações:

I A equação g x = 3 tem pelo menos uma solução no intervalo [ - 1 ,   0 ] .

I I A equação g x = 2 tem exatamente uma solução no intervalo [ - 1 ,   0 ] .

I I I A função g admite um ponto crítico no intervalo ] 1 ,   2 [ .

Pode-se dizer com certeza que:

a. todas as afirmações são falsa.

b. somente as afirmações I e I I I são verdadeiras.

c. somente as afirmações I e I I são verdadeiras.

d. todas as afirmações são verdadeiras.

e. somente a afirmação I é verdadeira.

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Questão 315

Seja f x , y = x x 2 + y 2 - 3 / 2 e sin ⁡ ( x 2 y ) . Calcule ∂ f ∂ x ( 1,0 )

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Questão 316

Determine os pontos de continuidade da função

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Questão 317

2. Seja f : R → R uma função que, em todo - 1 ≤ x ≤ 1 , vale s e n ⁡ ( x ) 1 + x 2 ≤ f ( x ) ≤ 2 x - x 2 4 - x 2 .

Verifique se pode garantir que  f  é contínua em  x = 0 .

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Questão 318

Considere a função

f x = x + x 3 sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

b) f é uma função contínua em todo o seu domínio?

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Questão 319

Responda as seguintes perguntas (justifique suas respostas):

  1. Será que toda função que é contínua também é diferenciável?

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Questão 320

Determine os possíveis valores de a, b e c que tornam contínuas as funções abaixo.

f x = sin ⁡ b x + b a x + a         s e   x < - 1 , 3 x + 1       s e - 1 ≤ x ≤ 0 , a ln ⁡ x + e x + 1 + b         s e   x > 0

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Conteúdos Complementares

Conceitos de Continuidade

Função contínua

Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Polinômio de Taylor para f(x,y)Lista de Caso AvançadoLista de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)Lista de Wronskiano - Dependência e Independência LinearLista de Caso Vetorial no R³Lista de Limites Laterais e Existência do LimiteLista de Caso Escalar R²Lista de Área de Superfícies de RevoluçãoLista de Área entre Curvas Lista de Curvas de Nível

Principais Conceitos de Cálculo

PrimitivasEquação da ElipseFunção contínuaCoeficiente LinearDiagrama De VennFórmula do x e y do vérticeTabelas de Relações TrigonométricasTabela de DerivadasPropriedades do Logaritmo - Tabela