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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 35

17-40 Encontre os limites

35- underset(theta -> 0)(lim) (theta^2)/(1 - cos theta)

Passo 1

Gente, a primeira coisa que nos temos que lembrar aqui é que:

s e n^2 theta = 1 - cos^2 theta

Infelizmente, não temos esse termo no denominador, então vamos multiplicar pelo conjugado para que ele apareça :

underset(theta -> 0)(lim) (theta^2)/(1 - cos theta) xx (1 + c o s theta)/(1 + c o s theta) = underset(theta -> 0)(l i m) (theta^2 ( 1 + c o s theta ))/(1 - co s^2 theta)

Substituindo por s e n^2 theta , temos:

underset(theta -> 0)(lim) (theta^2)/(s e n^2 theta) xx underset(theta -> 0)(lim) 1 + c o s theta

Abrindo o primeiro limite:

underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(s e n theta) xx underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(s e n theta) xx underset(theta -> 0)(lim) ( 1 + c o s theta )

Gente, esse dois com s e n theta me lembram daquele limite trigonométrico fundamental:

underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x) = 1

Passo 2

Você pode estar se perguntando..... Mas como eu vou usar esse teorema se as minhas frações estão invertidas ???

Nós podemos resolver esse problema assim:

underset(theta -> 0)(lim) (1)/((s e n theta)/(theta)) xx underset(theta -> 0)(lim) (1)/((s e n theta)/(theta))

Substituindo theta por x , temos:

underset(x -> 0)(lim) (1)/((s e n x)/(x)) xx underset(x -> 0)(lim) (1)/((s e n x)/(x)) = 1 xx 1 = 1

Agora, fazendo o último limite, temos :

underset(theta -> 0)(lim) ( 1 + c o s theta ) = 2

Assim,

underset(theta -> 0)(lim) (theta^2)/(1 - cos theta) = 1 xx 1 xx 2 = 2

Resposta

2

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