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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 43

É fato que, quando uma corda flexível é enrolada em um cilindro áspero, uma pequena força de magnitude F 0 em uma ponta pode resistir a uma grande força de magnitude F na outra ponta. O tamanho de F depende do ângulo θ , segundo o qual a corda é enrolada em torno do cilindro (veja a figura a seguir). Essa figura mostra o gráfico de F (em libras) versus θ (em radianos), onde F é a magnitude da força à qual resiste uma força F 0 com 10 libras de magnitude para uma certa corda e um certo cilindro.

  1. Estime os valores de F e de d F d θ quando θ for de 10 radianos.
  2. Pode ser mostrado que a força F satisfaz a equação d F d θ = μ F , onde a constante μ é denominada coeficiente de atrito. Use os resultados de a) para estimar o valor de μ .

Passo 1

  1. Analisando o gráfico, nós vemos que quando θ = 10 a força é igual a F = 200 .

    2. Já para estimar d F d θ vamos achar a inclinação nesse ponto usando:

    d F d θ = f x - f x 0 x - x 0

    Onde x , f x = 10,200 e x 0 , f x 0 = 6,0 são pontos da reta tangente, vamos substituir então:

    d F d θ = f x - f x 0 x - x 0 = 200 - 0 10 - 6 = 200 4 = 5 0

    Passo 2

  2. Para estimar o valor de μ é simples, vamos substituir os valores que achamos em:

d F d θ = μ F

Vamos lá:

d F d θ = μ F → 50 = μ ⋅ 200 → μ = 5 200 → μ = 1 4

Resposta

  1. F = 200 e d F d θ = 50
  2. μ = 1 4
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