Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 20
19-22. Calcule a integral definida expressando-a em termos de e calculando a integral resultante usando uma fórmula de Geometria.
20.
Passo 1
Então galera, a integral que nos foi dada é a seguinte:
E nossa substituição é:
Derivando para descobrirmos em função de :
Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:
Ok, primeira parte finalizada!
Passo 2
O que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a , e sim em relação a ! Os intervalos são: e , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:
Logo, nossa integral será:
Passo 3
Na integral que chegamos no passo anterior há uma informação bastante implícita, galera! O gráfico do nosso integrando é o semicírculo superior de raio e centro na origem; sendo assim, a região é um quarto de um círculo inteiro estendendo-se de até , ou seja:
E essa é a nossa resposta, pessoal! Vale ressaltar que a integral foi resolvida pensando na geometria do problema e não em uma técnica de fato, ok? 😊