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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 37

Nos exercícios de 33 a 44, calcule a integral definida.

37. ∫ 0 π 2 d x 5 s e n   x + 3

Passo 1

Neste tipo de questão não há muito o que tirar de informação do enunciado, apenas utilizar as técnicas de integração desenvolvidas até o momento, utilizar também algumas substituições especiais vistas ao longo desta seção bem como relações matemáticas básicas.

Passo 2

Sendo assim, a integral dada pode ser calculada como:

∫ 0 π 2 d x 5 s e n   x + 3

Fazendo a substituição z = t g 1 2 x   ,   t e m o s   q u e   s e n   x = 2 z 1 + z 2   e   q u e   d x = 2 d z 1 + z 2

Passo 3

Substituindo os valores acima na expressão da integral teremos:

∫ 0 π 2 d x 5 s e n   x + 3 = ∫ 0 1 2 d z 1 + z 2 5 2 z 1 + z 2 + 3 = ∫ 0 1 2 d z 10 z + 3 + 3 z 2 = 2 3 ∫ 0 1 d z z 2 + 10 3 z + 1 =

= 2 3 ∫ 0 1 d z z + 5 3 2 - 16 9 = 2 3 . 1 8 3 l n z + 5 3 - 4 3 z + 5 3 + 4 3 0 1 = 1 4 ( ln ⁡ 1 - ln ⁡ 1 3 ) = 1 4 ln ⁡ 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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