5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.

18. ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 3 e - x 1 - e - 2 x d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral que nos foi dada utilizando as duas maneiras citadas pelo enunciado, vamos relembrar rapidinho qual é a diferença entre elas, ok?

Substituir u na integral definida significa calcular toda a integral em termos de u , inclusive os os intervalos de integração são alterados a partir da relação entre u e x ;

Por outro lado, substituir u na integral indefinida significa apenas utilizar essa substituição para calcular a integral e depois retornar à nossa variável original (que é x no nosso caso) e sem alterar os limites de integração!

Beleza! Tendo em vista esses conceitos, então bora que bora!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 3 e - x 1 - e - 2 x d x

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = e - x

Encontrando a relação entre d u e d x :

d u = - e - x d x

∴ - d u = e - x d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 3 e - x 1 - e - 2 x d x = - ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 3 d u 1 - u 2

Ok, espero que tenha feito sentido até aqui! Bora continuar!

Passo 3

Resolvendo da primeira maneira, isto é, substituindo u na integral definida, teremos:

u = e - x

u ln ⁡ 2 = e - ln ⁡ 2 = 1 2

u ln ⁡ 2 3 = e - ln ⁡ 2 3 = 3 2

Aqui o que fizemos foi alterar os intervalos de integração utilizando a substituição que escolhemos no passo 2! Dessa forma, teremos:

- ∫ 1 2 3 2 d u 1 - u 2 = - a r c sin ⁡ u 3 2 1 2

- ∫ 1 2 3 2 d u 1 - u 2 = - a r c sin ⁡ 3 2 - a r c sin ⁡ 1 2 = - π 6

Agora resolvendo da segunda maneira, isto é, voltando à nossa variável x depois de resolver a integral, teremos:

- ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 3 d u 1 - u 2 = - a r c sin ⁡ u ln ⁡ 2 3 ln ⁡ 2

- ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 3 d u 1 - u 2 = - a r c sin ⁡ e - x ln ⁡ 2 3 ln ⁡ 2

- ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 3 d u 1 - u 2 = - a r c sin ⁡ 3 2 - a r c sin ⁡ 1 2 = - π 6

Note que os resultados deram idênticos, como era para acontecer. E estão aí nossos resultados, pessoal!

Resposta

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 3 e - x 1 - e - 2 x d x = π 6

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