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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 65

Calcule as integrais supondo que n seja um inteiro positivo e que b ≠ 0 .

∫ sin n ⁡ ( a + b x ) cos ⁡ ( a + b x )   d x

Passo 1

Bom galera, vamos usar a substituição para resolver isso, vamos chamar:

u = sin ⁡ ( a + b x )

Logo:

d u = b ⋅ cos ⁡ a + b x   d x → d u b = cos ⁡ a + b x d x

Passo 2

Belezinha, agora vamos usar a substituição na nossa integral:

∫ sin n ⁡ ( a + b x ) cos ⁡ ( a + b x ) d x → ∫ u n b d u

Onde b é uma constante, logo podemos colocar pra fora da integral, fica assim:

1 b ∫ u n d u

Passo 3

Por fim, a gente integra e volta pra variável original:

1 b ∫ u n   d u = 1 b ⋅ u n + 1 n + 1 + C

= u n + 1 b ( n + 1 ) + C = sin n + 1 ⁡ ( a + b x ) b ( n + 1 ) + C

Resposta

sin n + 1 ⁡ ( a + b x ) b ( n + 1 ) + C

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Explique a relação entre a regra da cadeia para a derivação e o método da substituição u para a integração.
Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ cot ⁡ x csc 2 ⁡ x d x ; u = cot ⁡ x b ∫ 1 + sin ⁡ t 9 cos ⁡ td t ; u = 1 + sin ⁡ t
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ cos ⁡ x 3d x
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ sin ⁡ 7 xd x
Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ sec 2 ⁡ 4 x + 1d x ; u = 4 x + 1 b ∫ y 1 + 2 y 2d y ; u = 1 + 2 y 2