Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 54
Encontre as equações de retas tangentes à curva
Que sejam paralelas à reta
Passo 1
Fala aí! tudo certinho? 😁
O enunciado nos pede para encontrar as equações das retas que são tangentes à curva dada por:
E paralelas à reta dada por:
Para fazer isso, precisamos identificar que temos uma equação da reta que pode ser dada por , onde é a inclinação da reta e o valor onde ela “corta” o eixo .
Esse coeficiente angular da reta, , é dado pela derivada de inclinação dessa reta também pode ser dada pela derivada da função em uma determinada coordenada de um ponto. Logo, o que buscaremos é:
Onde é a derivada da função da curva e o ponto de tangência.
Resumidamente, o que nós vamos fazer é derivar para descobrir a inclinação da reta e substituir essa inclinação, junto com o ponto de tangência, na equação geral da reta.
Vamos lá!
Passo 2
Na reta: lembra que a equação de uma reta pode ser dada por:
Onde é a inclinação da reta. Neste caso, a reta dada tem inclinação que é dada pela equação:
Logo:
Para duas ou mais retas serem paralelas deveremos ter suas inclinações de mesmo valor .
Daí, conclui-se que as retas tangentes deverão ter .
Na curva: a inclinação de uma tangente pode ser dada por:
Onde é a derivada da função da curva e o ponto de tangência.
Passo 3
A função dada no enunciado é:
Para derivarmos a função da curva, usaremos a Regra do Quociente , assim temos que:
Sendo:
E
Temos que:
Substituindo na regra do quociente...
Multplicando os termos, teremos:
Então, aplicando a inclinação de uma tangente , temos:
Resolvendo essa equação em obteremos:
Tranquilo até aqui? 😇
Passo 4
O ponto pertence à curva, então temos que
Assim, para temos:
Para temos:
Logo, temos duas tangentes, e , para cada ponto , uma para o ponto e outra para o ponto , respectivamente.
Assim, a reta tangente será:
Substituindo o ponto na equação da tangente :
Logo, temos:
Para a outra tangente, temos:
Substituindo o ponto na equação da segunda tangente :
Logo, temos:
Ou sejaaa, temos e que são equações que tem inclinação , sendo assim, são paralelas a reta dada, além disso, elas também são tangente à curva!
E então! O que achou? Responde Aí!
