Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto especificado.

y = 2 x e x ,   0,0

Passo 1

Queremos determinar as equações das retas tangente e normal à curva dada por

y = 2 x e x

no ponto ( 0 ,   0 ) .

Sabe-se que a equação de uma reta pode ser dada em sua forma reduzida

y = m x + q

onde m é a inclinação da reta e q o coeficiente linear (interseção com o eixo y ) que precisamos descobrir.

A inclinação m pode ser dada por

m = y ' ( 0,0 )

que representa a derivada da função da curva no ponto ( 0,0 ) .

Como temos um produto de funções aqui, deveremos utilizar a regra do produto quando formos derivar:

A regra do produto, é a seguinte:

f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

Uma informação importante para a gente é a relação entre o coeficiente angular de uma reta normal ( m N ) e da reta tangente ( m ) :

m N = - 1 m

Passo 2

Vamos, então, ter que obter a derivada de

y = 2 x e x

Para isso, teremos que usar a Regra da Derivada do Produto. Assim:

y ' = 2 e x + 2 x e x

y ' = 2 x + 1 e x

Daí, teremos que

m = y ' 0,0 = 2 0 + 1 e 0 = 2

Usando o fato de que a reta passa pelo ponto ( 0,0 ) , pois é o ponto de tangência, então temos:

0 = 2 0 + q

q = 0

Portanto, a equação da reta tangente será

y = 2 x + 0  

y = 2 x

Sabe-se que a inclinação da reta normal m N pode ser dada por m N = - 1 m = - 1 2 e usando o fato de que a reta normal também passa por ( 0,0 ) , então:

0 = - 1 2 0 + q N

  q N = 0

, onde q N é o coeficiente linear da reta normal. Logo, a equação da reta normalmente será:

y = - 1 2 x + 0

y = - 1 2 x

Portanto, a equação da reta tangente será y = e (tangente horizontal, pois m = 0 )

Resposta

y = 2 x

y = - 1 2 x

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