Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 33
Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto especificado.
Passo 1
Queremos determinar as equações das retas tangente e normal à curva dada por
no ponto .
Sabe-se que a equação de uma reta pode ser dada em sua forma reduzida
onde é a inclinação da reta e o coeficiente linear (interseção com o eixo ) que precisamos descobrir.
A inclinação pode ser dada por
que representa a derivada da função da curva no ponto .
Como temos um produto de funções aqui, deveremos utilizar a regra do produto quando formos derivar:
A regra do produto, é a seguinte:
Uma informação importante para a gente é a relação entre o coeficiente angular de uma reta normal ( e da reta tangente :
Passo 2
Vamos, então, ter que obter a derivada de
Para isso, teremos que usar a Regra da Derivada do Produto. Assim:
Daí, teremos que
Usando o fato de que a reta passa pelo ponto , pois é o ponto de tangência, então temos:
Portanto, a equação da reta tangente será
Sabe-se que a inclinação da reta normal pode ser dada por e usando o fato de que a reta normal também passa por , então:
, onde é o coeficiente linear da reta normal. Logo, a equação da reta normalmente será:
Portanto, a equação da reta tangente será (tangente horizontal, pois )