Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 34
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva dada no ponto especificado:
Passo 1
Eaee, belezinha??? Bom... Queremos determinar as equações das retas tangente e normal à curva dada por no ponto .
Para isso, sabe-se que a equação de uma reta pode ser dada em sua forma reduzida
Onde é a inclinação da reta e o coeficiente linear (interseção com o eixo ) que precisamos descobrir.
A inclinação pode ser dada por , que representa a derivada da função da curva no ponto .
Vamos, então, ter que obter a derivada de
Para isso, teremos que usar a Regra da Derivada do Quociente.
Sejam e duas funções deriváveis, então a derivada do quociente é dada por:
Agora bora aplicar!!
Passo 2
Assim, aplicando a regra do quociente, temos:
Daí, teremos que, substituindo pelo ponto dado:
Usando o fato de que a reta passa pelo ponto , pois é o ponto de tangência, então temos:
Portanto, a equação da reta tangente será
Passo 3
Sabe-se que a inclinação da reta normal pode ser dada por
E usando o fato de que a reta normal também passa por , então:
Onde é o coeficiente linear da reta normal.
Logo, a equação da reta normal será