22-Esboce um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostra as assíntotas horizontais, verticais, oblíquas e curvilíneas e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

22-

Igualando a primeira derivada a zero, temos:

De cara nós já vemos que é uma das raízes dessa equação, né ?

Agora, nós temos que usar Briott Ruffini para vermos se tem outra raiz:

Como o nosso Briott Ruffini não deu em nada, concluímos que só temos uma raiz: .

Para :

é o nosso ponto estacionário.

O próximo passo é saber se , ou . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Para :

Como , para , temos um ponto de máximo.

Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função . Então vamos lá!

Agora, temos que ver como essa função se comporta ao redor desses pontos e, a melhor forma de fazer isso é montando um quadro de sinais.

Galerissss, como a função varia o sinal, para ., temos um ponto de inflexão.

Para :

é o nosso ponto de inflexão.

Por último, temos que ver as assíntotas.

- Assíntota horizontal:

Dessa forma, não temos assíntota horizontal.

-Assíntota vertical:

Dessa forma, para temos uma assíntota vertical.

-Assíntota oblíqua e curvilínea:

Gente, nós temos a seguinte função:

Podemos reescrever a nossa função assim:

Como a segunda parcela tende a quando , segue que

quando

Assim, temos que é uma assíntota oblíqua, pois o grau do numerador é maior em um do que o grau do denominador.

Por fim, temos o seguinte gráfico: